Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \left(x \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} - 1\right) - 2 x - 2\right)}{\left(x^{2} + 2 x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 3^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} - 1\right) - 2 x - 2\right)}{\left(x^{2} + 2 x - 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} - 1\right) - 2 x - 2\right)}{\left(x^{2} + 2 x - 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} - 1\right) - 2 x - 2\right)}{\left(x^{2} + 2 x - 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(x \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} - 1\right) - 2 x - 2\right)}{\left(x^{2} + 2 x - 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- 3^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{3}, \infty\right)$$