Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^3+2)
-
x*e^(-x)^2
-
2*x^3-15*x^2+36*x-32
-
x*(x-4)
-
Expresiones idénticas
- uno / cuatro x^4- uno / dos x^2
- 1 dividir por 4x en el grado 4 menos 1 dividir por 2x al cuadrado
- uno dividir por cuatro x en el grado 4 menos uno dividir por dos x al cuadrado
- 1/4x4-1/2x2
- 1/4x⁴-1/2x²
- 1/4x en el grado 4-1/2x en el grado 2
- 1 dividir por 4x^4-1 dividir por 2x^2
-
Expresiones semejantes
- 1/4x^4+1/2x^2
Gráfico de la función y = 1/4x^4-1/2x^2
Solución
Ha introducido
[src]
4 2
x x
f(x) = -- - --
4 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}$$
f = x^4/4 - x^2/2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.4142135623731$$
$$x_{2} = 1.4142135623731$$
$$x_{3} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.4142135623731$$
$$x_{2} = 1.4142135623731$$
$$x_{3} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x^{3} - x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x^{3} - x = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, -1/4)
(0, 0)
(1, -1/4)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$3 x^{2} - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$3 x^{2} - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4/4 - x^2/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}$$
- Sí
$$\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}$$
- Sí
$$\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2}$$
- No
es decir, función
es
par