Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x/(x^2-1)^(1/3) x/(x^2-1)^(1/3)
  • (x^3+16)/x (x^3+16)/x
  • (x^3-x^2)/(4-x^2) (x^3-x^2)/(4-x^2)
  • x^3+3*x^2+1 x^3+3*x^2+1

  • Expresiones idénticas

  • uno / cuatro x^4- uno / dos x^2
  • 1 dividir por 4x en el grado 4 menos 1 dividir por 2x al cuadrado
  • uno dividir por cuatro x en el grado 4 menos uno dividir por dos x al cuadrado
  • 1/4x4-1/2x2
  • 1/4x⁴-1/2x²
  • 1/4x en el grado 4-1/2x en el grado 2
  • 1 dividir por 4x^4-1 dividir por 2x^2

  • Expresiones semejantes

  • 1/4x^4+1/2x^2
Trazado el gráfico de la función/ 1/4x^4-1/2x^2

Gráfico de la función y = 1/4x^4-1/2x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        4    2
       x    x 
f(x) = -- - --
       4    2
f(x)=x44−x22f{\left(x \right)} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} 
f = x^4/4 - x^2/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x44−x22=0\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−2x_{2} = - \sqrt{2}
x3=2x_{3} = \sqrt{2}
Solución numérica
x1=−1.4142135623731x_{1} = -1.4142135623731
x2=1.4142135623731x_{2} = 1.4142135623731
x3=0x_{3} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4/4 - x^2/2.
044−022\frac{0^{4}}{4} - \frac{0^{2}}{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x3−x=0x^{3} - x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, -1/4)

(0, 0)

(1, -1/4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−1,0]∪[1,∞)\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]∪[0,1]\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3x2−1=03 x^{2} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−33x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}
x2=33x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−33]∪[33,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−33,33]\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x44−x22)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x44−x22)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4/4 - x^2/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x44−x22x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x44−x22x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x44−x22=x44−x22\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}
- Sí
x44−x22=−x44+x22\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2}
- No
es decir, función
es
par
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