Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=x^3-6x^2+8x
-
y=x^3(x+2)^2
-
y=x^2+2x-8
-
y=x^3+2x^2-21x+18
-
Expresiones idénticas
- y=x^ tres + dos x^2-21x+ dieciocho
- y es igual a x al cubo más 2x al cuadrado menos 21x más 18
- y es igual a x en el grado tres más dos x al cuadrado menos 21x más dieciocho
- y=x3+2x2-21x+18
- y=x³+2x²-21x+18
- y=x en el grado 3+2x en el grado 2-21x+18
-
Expresiones semejantes
- y=x^3+2x^2-21x-18
- y=x^3-2x^2-21x+18
- y=x^3+2x^2+21x+18
Gráfico de la función y = y=x^3+2x^2-21x+18
Solución
Ha introducido
[src]
3 2 f(x) = x + 2*x - 21*x + 18
$$f{\left(x \right)} = \left(- 21 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 18$$
f = -21*x + x^3 + 2*x^2 + 18
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 21 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 18 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -6$$
$$x_{3} = 3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 21 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 18 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -6$$
$$x_{3} = 3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} + 4 x - 21 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{67}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{67}}{3} - \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{67}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{67}}{3} - \frac{2}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{67}}{3} - \frac{2}{3}\right] \cup \left[- \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{67}}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{67}}{3} - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{67}}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} + 4 x - 21 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{67}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{67}}{3} - \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
3 2
____ / ____\ / ____\
2 \/ 67 | 2 \/ 67 | ____ | 2 \/ 67 |
(- - + ------, 32 + |- - + ------| - 7*\/ 67 + 2*|- - + ------| )
3 3 \ 3 3 / \ 3 3 / 3 2
____ / ____\ / ____\
2 \/ 67 | 2 \/ 67 | | 2 \/ 67 | ____
(- - - ------, 32 + |- - - ------| + 2*|- - - ------| + 7*\/ 67 )
3 3 \ 3 3 / \ 3 3 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{67}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{67}}{3} - \frac{2}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{67}}{3} - \frac{2}{3}\right] \cup \left[- \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{67}}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{67}}{3} - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{67}}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 x + 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{2}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(3 x + 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{2}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 21 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 18\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 21 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 18\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 21 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 18\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 21 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 18\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 + 2*x^2 - 21*x + 18, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 21 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 18}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 21 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 18}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 21 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 18}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 21 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 18}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- 21 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 18 = - x^{3} + 2 x^{2} + 21 x + 18$$
- No
$$\left(- 21 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 18 = x^{3} - 2 x^{2} - 21 x - 18$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(- 21 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 18 = - x^{3} + 2 x^{2} + 21 x + 18$$
- No
$$\left(- 21 x + \left(x^{3} + 2 x^{2}\right)\right) + 18 = x^{3} - 2 x^{2} - 21 x - 18$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico