Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3-x-1
-
(x^3-3x)/(x^2-1)
-
x^3-6*x^2-15*x-2
-
x^4-4*x^3+10
-
Expresiones idénticas
- e^(- dos *x)*(sin(x))^ dos
- e en el grado ( menos 2 multiplicar por x) multiplicar por ( seno de (x)) al cuadrado
- e en el grado ( menos dos multiplicar por x) multiplicar por ( seno de (x)) en el grado dos
- e(-2*x)*(sin(x))2
- e-2*x*sinx2
- e^(-2*x)*(sin(x))²
- e en el grado (-2*x)*(sin(x)) en el grado 2
- e^(-2x)(sin(x))^2
- e(-2x)(sin(x))2
- e-2xsinx2
- e^-2xsinx^2
-
Expresiones semejantes
- e^(2*x)*(sin(x))^2
- e^(-2*x)*(sinx)^2
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(tan((1)/((x-1)(x-1)(x-1))))
- sin(x)*(-x)
- sin(2*(|x|-sqrt(2)/2)-1/2)
- sin(pi*x)^(1/3)/(-5+x)
- sin(*x)
Gráfico de la función y = e^(-2*x)*(sin(x))^2
Solución
Ha introducido
[src]
-2*x 2 f(x) = E *sin (x)
$$f{\left(x \right)} = e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)}$$
f = E^(-2*x)*sin(x)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 15.7079591150118$$
$$x_{2} = 21.9911485846823$$
$$x_{3} = 6.28318336912599$$
$$x_{4} = 59.6902188721358$$
$$x_{5} = 40.8407036430526$$
$$x_{6} = 37.6991077264704$$
$$x_{7} = 18.8495550464631$$
$$x_{8} = 43.982292262834$$
$$x_{9} = 78.539816047487$$
$$x_{10} = 81.6814049504956$$
$$x_{11} = 97.3893695118185$$
$$x_{12} = 12.5663702846886$$
$$x_{13} = 81.6814089969446$$
$$x_{14} = 25.1327395038802$$
$$x_{15} = 103.672510574054$$
$$x_{16} = 6.28318528201839$$
$$x_{17} = 50.265480031757$$
$$x_{18} = 47.1238881103459$$
$$x_{19} = 59.6902563383069$$
$$x_{20} = 34.5575188725238$$
$$x_{21} = 84.8230008353279$$
$$x_{22} = 43.9822971676107$$
$$x_{23} = 53.4070722841639$$
$$x_{24} = 15.7079632968674$$
$$x_{25} = 91.106185322378$$
$$x_{26} = 62.8318522393405$$
$$x_{27} = 69.1150367165124$$
$$x_{28} = 28.2743316936971$$
$$x_{29} = 37.6991118651475$$
$$x_{30} = 87.9645894220304$$
$$x_{31} = 31.4159236701167$$
$$x_{32} = 65.9734457492379$$
$$x_{33} = 100.53096463462$$
$$x_{34} = 0$$
$$x_{35} = 87.964594329865$$
$$x_{36} = 28.2743338639748$$
$$x_{37} = 3.14159089711733$$
$$x_{38} = 9.42477505593456$$
$$x_{39} = 37.6990954463624$$
$$x_{40} = 21.9911436865304$$
$$x_{41} = 56.5486674601224$$
$$x_{42} = 50.2654824458391$$
$$x_{43} = 94.2477796093414$$
$$x_{44} = 94.2477767511829$$
$$x_{45} = 15.7079594843761$$
$$x_{46} = 59.6902604319688$$
$$x_{47} = 65.9734408413743$$
$$x_{48} = 72.2566310276233$$
$$x_{49} = 72.2566283841577$$
$$x_{50} = 81.6812543653379$$
$$x_{51} = 75.3982208980673$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 15.7079591150118$$
$$x_{2} = 21.9911485846823$$
$$x_{3} = 6.28318336912599$$
$$x_{4} = 59.6902188721358$$
$$x_{5} = 40.8407036430526$$
$$x_{6} = 37.6991077264704$$
$$x_{7} = 18.8495550464631$$
$$x_{8} = 43.982292262834$$
$$x_{9} = 78.539816047487$$
$$x_{10} = 81.6814049504956$$
$$x_{11} = 97.3893695118185$$
$$x_{12} = 12.5663702846886$$
$$x_{13} = 81.6814089969446$$
$$x_{14} = 25.1327395038802$$
$$x_{15} = 103.672510574054$$
$$x_{16} = 6.28318528201839$$
$$x_{17} = 50.265480031757$$
$$x_{18} = 47.1238881103459$$
$$x_{19} = 59.6902563383069$$
$$x_{20} = 34.5575188725238$$
$$x_{21} = 84.8230008353279$$
$$x_{22} = 43.9822971676107$$
$$x_{23} = 53.4070722841639$$
$$x_{24} = 15.7079632968674$$
$$x_{25} = 91.106185322378$$
$$x_{26} = 62.8318522393405$$
$$x_{27} = 69.1150367165124$$
$$x_{28} = 28.2743316936971$$
$$x_{29} = 37.6991118651475$$
$$x_{30} = 87.9645894220304$$
$$x_{31} = 31.4159236701167$$
$$x_{32} = 65.9734457492379$$
$$x_{33} = 100.53096463462$$
$$x_{34} = 0$$
$$x_{35} = 87.964594329865$$
$$x_{36} = 28.2743338639748$$
$$x_{37} = 3.14159089711733$$
$$x_{38} = 9.42477505593456$$
$$x_{39} = 37.6990954463624$$
$$x_{40} = 21.9911436865304$$
$$x_{41} = 56.5486674601224$$
$$x_{42} = 50.2654824458391$$
$$x_{43} = 94.2477796093414$$
$$x_{44} = 94.2477767511829$$
$$x_{45} = 15.7079594843761$$
$$x_{46} = 59.6902604319688$$
$$x_{47} = 65.9734408413743$$
$$x_{48} = 72.2566310276233$$
$$x_{49} = 72.2566283841577$$
$$x_{50} = 81.6812543653379$$
$$x_{51} = 75.3982208980673$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 e^{- 2 x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
3*pi
----
2
-3*pi e
(-----, -----)
4 2 -pi
----
2
pi e
(--, -----)
4 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{- 2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(-2*x)*sin(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, 0\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \left\langle -\infty, 0\right\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, 0\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \left\langle -\infty, 0\right\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)} = e^{2 x} \sin^{2}{\left(x \right)}$$
- No
$$e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)} = - e^{2 x} \sin^{2}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)} = e^{2 x} \sin^{2}{\left(x \right)}$$
- No
$$e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(x \right)} = - e^{2 x} \sin^{2}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar