Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ f(x)=x^-4-2x+6

Gráfico de la función y = f(x)=x^-4-2x+6

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       1           
f(x) = -- - 2*x + 6
        4          
       x
$$f{\left(x \right)} = \left(- 2 x + \frac{1}{x^{4}}\right) + 6$$ 
f = -2*x + x^(-4) + 6
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 2 x + \frac{1}{x^{4}}\right) + 6 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \operatorname{CRootOf} {\left(2 x^{5} - 6 x^{4} - 1, 0\right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3.00612270295932$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^(-4) - 2*x + 6.
$$\left(\frac{1}{0} - 0\right) + 6$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$-2 - \frac{4}{x^{5}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt[5]{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
               5 ___ 
  5 ___      5*\/ 2  
(-\/ 2, 6 + -------)
                2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt[5]{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt[5]{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[5]{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{20}{x^{6}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 2 x + \frac{1}{x^{4}}\right) + 6\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 x + \frac{1}{x^{4}}\right) + 6\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^(-4) - 2*x + 6, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \frac{1}{x^{4}}\right) + 6}{x}\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \frac{1}{x^{4}}\right) + 6}{x}\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - 2 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- 2 x + \frac{1}{x^{4}}\right) + 6 = 2 x + 6 + \frac{1}{x^{4}}$$
- No
$$\left(- 2 x + \frac{1}{x^{4}}\right) + 6 = - 2 x - 6 - \frac{1}{x^{4}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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