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(2x-1)/(x+1)^2
Trazado el gráfico de la función/ (2x-1)/(x+1)^2

Gráfico de la función y = (2x-1)/(x+1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       2*x - 1 
f(x) = --------
              2
       (x + 1)
f(x)=2x−1(x+1)2f{\left(x \right)} = \frac{2 x - 1}{\left(x + 1\right)^{2}} 
f = (2*x - 1)/(x + 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2x−1(x+1)2=0\frac{2 x - 1}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=0.5x_{1} = 0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x - 1)/(x + 1)^2.
−1+0⋅212\frac{-1 + 0 \cdot 2}{1^{2}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−2x−2)(2x−1)(x+1)4+2(x+1)2=0\frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{2}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(2, 1/3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Decrece en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Crece en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−4+3(2x−1)x+1)(x+1)3=0\frac{2 \left(-4 + \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=72x_{1} = \frac{7}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(2(−4+3(2x−1)x+1)(x+1)3)=−∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(-4 + \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→−1+(2(−4+3(2x−1)x+1)(x+1)3)=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(-4 + \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[72,∞)\left[\frac{7}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,72]\left(-\infty, \frac{7}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2x−1(x+1)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(2x−1(x+1)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x - 1)/(x + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2x−1x(x+1)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 1}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2x−1x(x+1)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 1}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2x−1(x+1)2=−2x−1(1−x)2\frac{2 x - 1}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{- 2 x - 1}{\left(1 - x\right)^{2}}
- No
2x−1(x+1)2=−−2x−1(1−x)2\frac{2 x - 1}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{- 2 x - 1}{\left(1 - x\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (2x-1)/(x+1)^2
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