Sr Examen

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Gráfico de la función y = log(5)((x-3)/(x^2+7x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
               x - 3  
f(x) = log(5)*--------
               2      
              x  + 7*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 3}{x^{2} + 7 x} \log{\left(5 \right)}$$
f = ((x - 3)/(x^2 + 7*x))*log(5)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 3}{x^{2} + 7 x} \log{\left(5 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(5)*((x - 3)/(x^2 + 7*x)).
$$- \frac{3}{0^{2} + 0 \cdot 7} \log{\left(5 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(\frac{\left(- 2 x - 7\right) \left(x - 3\right)}{\left(x^{2} + 7 x\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 7 x}\right) \log{\left(5 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 - \sqrt{30}$$
$$x_{2} = 3 + \sqrt{30}$$
Signos de extremos en los puntos:
                       ____                
       ____         -\/ 30 *log(5)         
(3 - \/ 30, -----------------------------)
                              2            
                  /      ____\        ____ 
             21 + \3 - \/ 30 /  - 7*\/ 30  

                       ____                
       ____          \/ 30 *log(5)         
(3 + \/ 30, -----------------------------)
                              2            
                  /      ____\        ____ 
             21 + \3 + \/ 30 /  + 7*\/ 30  


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 3 - \sqrt{30}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 3 + \sqrt{30}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[3 - \sqrt{30}, 3 + \sqrt{30}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 - \sqrt{30}\right] \cup \left[3 + \sqrt{30}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(2 x + \left(1 - \frac{\left(2 x + 7\right)^{2}}{x \left(x + 7\right)}\right) \left(x - 3\right) + 7\right) \log{\left(5 \right)}}{x^{2} \left(x + 7\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3 + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{300}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 0$$

$$\lim_{x \to -7^-}\left(- \frac{2 \left(2 x + \left(1 - \frac{\left(2 x + 7\right)^{2}}{x \left(x + 7\right)}\right) \left(x - 3\right) + 7\right) \log{\left(5 \right)}}{x^{2} \left(x + 7\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -7^+}\left(- \frac{2 \left(2 x + \left(1 - \frac{\left(2 x + 7\right)^{2}}{x \left(x + 7\right)}\right) \left(x - 3\right) + 7\right) \log{\left(5 \right)}}{x^{2} \left(x + 7\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -7$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(2 x + \left(1 - \frac{\left(2 x + 7\right)^{2}}{x \left(x + 7\right)}\right) \left(x - 3\right) + 7\right) \log{\left(5 \right)}}{x^{2} \left(x + 7\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(2 x + \left(1 - \frac{\left(2 x + 7\right)^{2}}{x \left(x + 7\right)}\right) \left(x - 3\right) + 7\right) \log{\left(5 \right)}}{x^{2} \left(x + 7\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[3 + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{300}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 3 + \sqrt[3]{90} + \sqrt[3]{300}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{x^{2} + 7 x} \log{\left(5 \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{x^{2} + 7 x} \log{\left(5 \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(5)*((x - 3)/(x^2 + 7*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \log{\left(5 \right)}}{x \left(x^{2} + 7 x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \log{\left(5 \right)}}{x \left(x^{2} + 7 x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 3}{x^{2} + 7 x} \log{\left(5 \right)} = \frac{\left(- x - 3\right) \log{\left(5 \right)}}{x^{2} - 7 x}$$
- No
$$\frac{x - 3}{x^{2} + 7 x} \log{\left(5 \right)} = - \frac{\left(- x - 3\right) \log{\left(5 \right)}}{x^{2} - 7 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar