Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(2+x-x^(2))

Gráfico de la función y = sqrt(2+x-x^(2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ____________
         /          2 
f(x) = \/  2 + x - x
f(x)=−x2+(x+2)f{\left(x \right)} = \sqrt{- x^{2} + \left(x + 2\right)} 
f = sqrt(-x^2 + x + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x2+(x+2)=0\sqrt{- x^{2} + \left(x + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(2 + x - x^2).
2−02\sqrt{2 - 0^{2}}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = \sqrt{2}
Punto:
(0, sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12−x−x2+(x+2)=0\frac{\frac{1}{2} - x}{\sqrt{- x^{2} + \left(x + 2\right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(1/2, 3/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Crece en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(2x−1)24(−x2+x+2)+1−x2+x+2=0- \frac{\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{4 \left(- x^{2} + x + 2\right)} + 1}{\sqrt{- x^{2} + x + 2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞−x2+(x+2)=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{- x^{2} + \left(x + 2\right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞−x2+(x+2)=∞i\lim_{x \to \infty} \sqrt{- x^{2} + \left(x + 2\right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(2 + x - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x2+(x+2)x)=−i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + \left(x + 2\right)}}{x}\right) = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−ixy = - i x
lim⁡x→∞(−x2+(x+2)x)=i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + \left(x + 2\right)}}{x}\right) = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=ixy = i x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x2+(x+2)=−x2−x+2\sqrt{- x^{2} + \left(x + 2\right)} = \sqrt{- x^{2} - x + 2}
- No
−x2+(x+2)=−−x2−x+2\sqrt{- x^{2} + \left(x + 2\right)} = - \sqrt{- x^{2} - x + 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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