Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ abs(x)^x

Gráfico de la función y = abs(x)^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x
f(x) = |x|
f(x)=∣x∣xf{\left(x \right)} = \left|{x}\right|^{x} 
f = |x|^x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣x∣x=0\left|{x}\right|^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−87.7296189117236x_{1} = -87.7296189117236
x2=−69.9018146110782x_{2} = -69.9018146110782
x3=−61.9999662276448x_{3} = -61.9999662276448
x4=−54.1181015544262x_{4} = -54.1181015544262
x5=−89.7135473969176x_{5} = -89.7135473969176
x6=−56.0863081625288x_{6} = -56.0863081625288
x7=−77.8183907989672x_{7} = -77.8183907989672
x8=−79.7994002988528x_{8} = -79.7994002988528
x9=−63.9737998611028x_{9} = -63.9737998611028
x10=−15.8139263124933x_{10} = -15.8139263124933
x11=−65.9487738851147x_{11} = -65.9487738851147
x12=−26.8869080620545x_{12} = -26.8869080620545
x13=−14.1020074539103x_{13} = -14.1020074539103
x14=−93.6828492970151x_{14} = -93.6828492970151
x15=−19.3978852732468x_{15} = -19.3978852732468
x16=−40.4014274482069x_{16} = -40.4014274482069
x17=−83.7633463062983x_{17} = -83.7633463062983
x18=−32.639792270406x_{18} = -32.639792270406
x19=−101.626574101755x_{19} = -101.626574101755
x20=−71.879737418168x_{20} = -71.879737418168
x21=−58.0561081553706x_{21} = -58.0561081553706
x22=−48.2246806772509x_{22} = -48.2246806772509
x23=−52.1516409883751x_{23} = -52.1516409883751
x24=−91.6979661111658x_{24} = -91.6979661111658
x25=−67.9248040313737x_{25} = -67.9248040313737
x26=−42.3526438407011x_{26} = -42.3526438407011
x27=−24.9895625146103x_{27} = -24.9895625146103
x28=−17.5852262698517x_{28} = -17.5852262698517
x29=−99.6400553808745x_{29} = -99.6400553808745
x30=−36.5107385712533x_{30} = -36.5107385712533
x31=−23.1062838027104x_{31} = -23.1062838027104
x32=−12.4808388539905x_{32} = -12.4808388539905
x33=−103.613453582815x_{33} = -103.613453582815
x34=−97.6539153129216x_{34} = -97.6539153129216
x35=−44.3071615900969x_{35} = -44.3071615900969
x36=−46.2646116425713x_{36} = -46.2646116425713
x37=−34.5724266116976x_{37} = -34.5724266116976
x38=−30.7137987074204x_{38} = -30.7137987074204
x39=−81.7810650511392x_{39} = -81.7810650511392
x40=−95.668173083922x_{40} = -95.668173083922
x41=−73.8585107995245x_{41} = -73.8585107995245
x42=−75.8380788628834x_{42} = -75.8380788628834
x43=−50.1871007127581x_{43} = -50.1871007127581
x44=−38.4539506597741x_{44} = -38.4539506597741
x45=−21.2406976829495x_{45} = -21.2406976829495
x46=−60.0273671329405x_{46} = -60.0273671329405
x47=−85.7462084978396x_{47} = -85.7462084978396
x48=−28.7956558727801x_{48} = -28.7956558727801
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x|^x.
∣0∣0\left|{0}\right|^{0}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(xsign⁡(x)∣x∣+log⁡(∣x∣))∣x∣x=0\left(\frac{x \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right|} + \log{\left(\left|{x}\right| \right)}\right) \left|{x}\right|^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−1x_{1} = e^{-1}
Signos de extremos en los puntos:
         -1 
  -1   -e   
(e , e    )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e−1x_{1} = e^{-1}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[e−1,∞)\left[e^{-1}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,e−1]\left(-\infty, e^{-1}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣x∣x=0\lim_{x \to -\infty} \left|{x}\right|^{x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞∣x∣x=∞\lim_{x \to \infty} \left|{x}\right|^{x} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x|^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣x∣xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right|^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(∣x∣xx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right|^{x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣x∣x=∣x∣−x\left|{x}\right|^{x} = \left|{x}\right|^{- x}
- No
∣x∣x=−∣x∣−x\left|{x}\right|^{x} = - \left|{x}\right|^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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