Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ x/(lnx)^3

Gráfico de la función y = x/(lnx)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x   
f(x) = -------
          3   
       log (x)
f(x)=xlog⁡(x)3f{\left(x \right)} = \frac{x}{\log{\left(x \right)}^{3}} 
f = x/log(x)^3
Gráfico de la función
01000020000300004000050000600007000080000900001000001100000100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xlog⁡(x)3=0\frac{x}{\log{\left(x \right)}^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/log(x)^3.
0log⁡(0)3\frac{0}{\log{\left(0 \right)}^{3}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1log⁡(x)3−3log⁡(x)4=0\frac{1}{\log{\left(x \right)}^{3}} - \frac{3}{\log{\left(x \right)}^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e3x_{1} = e^{3}
Signos de extremos en los puntos:
      3 
  3  e  
(e, --)
     27


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e3x_{1} = e^{3}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[e3,∞)\left[e^{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,e3]\left(-\infty, e^{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(−1+4log⁡(x))xlog⁡(x)4=0\frac{3 \left(-1 + \frac{4}{\log{\left(x \right)}}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e4x_{1} = e^{4}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(3(−1+4log⁡(x))xlog⁡(x)4)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 \left(-1 + \frac{4}{\log{\left(x \right)}}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{4}}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(3(−1+4log⁡(x))xlog⁡(x)4)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 \left(-1 + \frac{4}{\log{\left(x \right)}}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{4}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,e4]\left(-\infty, e^{4}\right]
Convexa en los intervalos
[e4,∞)\left[e^{4}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xlog⁡(x)3)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\log{\left(x \right)}^{3}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xlog⁡(x)3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\log{\left(x \right)}^{3}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/log(x)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞1log⁡(x)3=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{3}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞1log⁡(x)3=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{3}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xlog⁡(x)3=−xlog⁡(−x)3\frac{x}{\log{\left(x \right)}^{3}} = - \frac{x}{\log{\left(- x \right)}^{3}}
- No
xlog⁡(x)3=xlog⁡(−x)3\frac{x}{\log{\left(x \right)}^{3}} = \frac{x}{\log{\left(- x \right)}^{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор