Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 4/(3-2x-x^2)

Gráfico de la función y = 4/(3-2x-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            4      
f(x) = ------------
                  2
       3 - 2*x - x
f(x)=4−x2+(3−2x)f{\left(x \right)} = \frac{4}{- x^{2} + \left(3 - 2 x\right)} 
f = 4/(-x^2 + 3 - 2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3x_{1} = -3
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4−x2+(3−2x)=0\frac{4}{- x^{2} + \left(3 - 2 x\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4/(3 - 2*x - x^2).
4−02+(3−0)\frac{4}{- 0^{2} + \left(3 - 0\right)}
Resultado:
f(0)=43f{\left(0 \right)} = \frac{4}{3}
Punto:
(0, 4/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4(2x+2)(−x2+(3−2x))2=0\frac{4 \left(2 x + 2\right)}{\left(- x^{2} + \left(3 - 2 x\right)\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−8(4(x+1)2x2+2x−3−1)(x2+2x−3)2=0- \frac{8 \left(\frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x - 3} - 1\right)}{\left(x^{2} + 2 x - 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3x_{1} = -3
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4−x2+(3−2x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4}{- x^{2} + \left(3 - 2 x\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(4−x2+(3−2x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{- x^{2} + \left(3 - 2 x\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4/(3 - 2*x - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4x(−x2+(3−2x)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4}{x \left(- x^{2} + \left(3 - 2 x\right)\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(4x(−x2+(3−2x)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{x \left(- x^{2} + \left(3 - 2 x\right)\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4−x2+(3−2x)=4−x2+2x+3\frac{4}{- x^{2} + \left(3 - 2 x\right)} = \frac{4}{- x^{2} + 2 x + 3}
- No
4−x2+(3−2x)=−4−x2+2x+3\frac{4}{- x^{2} + \left(3 - 2 x\right)} = - \frac{4}{- x^{2} + 2 x + 3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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