Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ y=5sinx-3cosx

Gráfico de la función y = y=5sinx-3cosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 5*sin(x) - 3*cos(x)
f(x)=5sin⁡(x)−3cos⁡(x)f{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} 
f = 5*sin(x) - 3*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
5sin⁡(x)−3cos⁡(x)=05 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=atan⁡(35)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{5} \right)}
Solución numérica
x1=−65.4330262251151x_{1} = -65.4330262251151
x2=−87.4241748002436x_{2} = -87.4241748002436
x3=−81.140989493064x_{3} = -81.140989493064
x4=57.0890872648869x_{4} = 57.0890872648869
x5=47.6643093041175x_{5} = 47.6643093041175
x6=97.9297917615542x_{6} = 97.9297917615542
x7=9.96519746103996x_{7} = 9.96519746103996
x8=69.655457879246x_{8} = 69.655457879246
x9=−46.5834703035763x_{9} = -46.5834703035763
x10=−40.3002849963967x_{10} = -40.3002849963967
x11=85.363421147195x_{11} = 85.363421147195
x12=−77.9993968394742x_{12} = -77.9993968394742
x13=−5.742765806909x_{13} = -5.742765806909
x14=75.9386431864256x_{14} = 75.9386431864256
x15=−18.3091364212682x_{15} = -18.3091364212682
x16=35.0979386897583x_{16} = 35.0979386897583
x17=94.7881991079644x_{17} = 94.7881991079644
x18=946.159808230798x_{18} = 946.159808230798
x19=−96.848952761013x_{19} = -96.848952761013
x20=−49.7250629571661x_{20} = -49.7250629571661
x21=−34.0170996892171x_{21} = -34.0170996892171
x22=−93.7073601074232x_{22} = -93.7073601074232
x23=66.5138652256562x_{23} = 66.5138652256562
x24=−30.8755070356273x_{24} = -30.8755070356273
x25=−21.450729074858x_{25} = -21.450729074858
x26=25.6731607289889x_{26} = 25.6731607289889
x27=13.1067901146298x_{27} = 13.1067901146298
x28=63.3722725720664x_{28} = 63.3722725720664
x29=0.540419500270584x_{29} = 0.540419500270584
x30=79.0802358400154x_{30} = 79.0802358400154
x31=6.82360480745017x_{31} = 6.82360480745017
x32=−24.5923217284478x_{32} = -24.5923217284478
x33=53.9474946112971x_{33} = 53.9474946112971
x34=−12.0259511140886x_{34} = -12.0259511140886
x35=16.2483827682195x_{35} = 16.2483827682195
x36=346.115611395148x_{36} = 346.115611395148
x37=38.2395313433481x_{37} = 38.2395313433481
x38=−59.1498409179355x_{38} = -59.1498409179355
x39=60.2306799184767x_{39} = 60.2306799184767
x40=−90.5657674538334x_{40} = -90.5657674538334
x41=−2.60117315331921x_{41} = -2.60117315331921
x42=91.6466064543746x_{42} = 91.6466064543746
x43=−68.5746188787049x_{43} = -68.5746188787049
x44=19.3899754218093x_{44} = 19.3899754218093
x45=−84.2825821466538x_{45} = -84.2825821466538
x46=−71.7162115322947x_{46} = -71.7162115322947
x47=3.68201215386038x_{47} = 3.68201215386038
x48=−43.4418776499865x_{48} = -43.4418776499865
x49=31.9563460361685x_{49} = 31.9563460361685
x50=−52.8666556107559x_{50} = -52.8666556107559
x51=−8.8843584604988x_{51} = -8.8843584604988
x52=72.7970505328358x_{52} = 72.7970505328358
x53=50.8059019577073x_{53} = 50.8059019577073
x54=−56.0082482643457x_{54} = -56.0082482643457
x55=41.3811239969379x_{55} = 41.3811239969379
x56=−62.2914335715253x_{56} = -62.2914335715253
x57=28.8147533825787x_{57} = 28.8147533825787
x58=22.5315680753991x_{58} = 22.5315680753991
x59=−27.7339143820376x_{59} = -27.7339143820376
x60=−74.8578041858844x_{60} = -74.8578041858844
x61=82.2218284936052x_{61} = 82.2218284936052
x62=44.5227166505277x_{62} = 44.5227166505277
x63=−99.9905454146028x_{63} = -99.9905454146028
x64=101.071384415144x_{64} = 101.071384415144
x65=−15.1675437676784x_{65} = -15.1675437676784
x66=−37.1586923428069x_{66} = -37.1586923428069
x67=88.5050138007848x_{67} = 88.5050138007848
x68=−125.123286643321x_{68} = -125.123286643321
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 5*sin(x) - 3*cos(x).
−3cos⁡(0)+5sin⁡(0)- 3 \cos{\left(0 \right)} + 5 \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−3f{\left(0 \right)} = -3
Punto:
(0, -3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3sin⁡(x)+5cos⁡(x)=03 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(53)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
                ____ 
(-atan(5/3), -\/ 34 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−atan⁡(53)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−atan⁡(53),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−atan⁡(53)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−5sin⁡(x)+3cos⁡(x)=0- 5 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(35)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{5} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,atan⁡(35)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{5} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[atan⁡(35),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{5} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(5sin⁡(x)−3cos⁡(x))=⟨−8,8⟩\lim_{x \to -\infty}\left(5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -8, 8\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−8,8⟩y = \left\langle -8, 8\right\rangle
lim⁡x→∞(5sin⁡(x)−3cos⁡(x))=⟨−8,8⟩\lim_{x \to \infty}\left(5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -8, 8\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−8,8⟩y = \left\langle -8, 8\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 5*sin(x) - 3*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(5sin⁡(x)−3cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(5sin⁡(x)−3cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
5sin⁡(x)−3cos⁡(x)=−5sin⁡(x)−3cos⁡(x)5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} = - 5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}
- No
5sin⁡(x)−3cos⁡(x)=5sin⁡(x)+3cos⁡(x)5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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