Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 5*sin(x)-3*cos(x)^(2)+1/3

Gráfico de la función y = 5*sin(x)-3*cos(x)^(2)+1/3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                       2      1
f(x) = 5*sin(x) - 3*cos (x) + -
                              3
f(x)=(5sin⁡(x)−3cos⁡2(x))+13f{\left(x \right)} = \left(5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{1}{3} 
f = 5*sin(x) - 3*cos(x)^2 + 1/3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(5sin⁡(x)−3cos⁡2(x))+13=0\left(5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{1}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2atan⁡(1516+35716+2241+455716)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{15}{16} + \frac{3 \sqrt{57}}{16} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{241 + 45 \sqrt{57}}}{16} \right)}
x2=2atan⁡(−2241+455716+1516+35716)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{241 + 45 \sqrt{57}}}{16} + \frac{15}{16} + \frac{3 \sqrt{57}}{16} \right)}
Solución numérica
x1=−68.6761069773767x_{1} = -68.6761069773767
x2=2.70266125199109x_{2} = 2.70266125199109
x3=−37.2601804414788x_{3} = -37.2601804414788
x4=69.5539697805741x_{4} = 69.5539697805741
x5=−53.8460065126252x_{5} = -53.8460065126252
x6=−49.826551055838x_{6} = -49.826551055838
x7=−56.1097363630176x_{7} = -56.1097363630176
x8=34.118587787889x_{8} = 34.118587787889
x9=59.2513290166074x_{9} = 59.2513290166074
x10=−60.1291918198048x_{10} = -60.1291918198048
x11=−78.9787477413435x_{11} = -78.9787477413435
x12=−22.4300799767273x_{12} = -22.4300799767273
x13=−24.6938098271196x_{13} = -24.6938098271196
x14=907.481345485852x_{14} = 907.481345485852
x15=44.4212285518558x_{15} = 44.4212285518558
x16=63.2707844733946x_{16} = 63.2707844733946
x17=−41.279635898266x_{17} = -41.279635898266
x18=65.534514323787x_{18} = 65.534514323787
x19=−72.6955624341639x_{19} = -72.6955624341639
x20=−173.226527349037x_{20} = -173.226527349037
x21=25.571672630317x_{21} = 25.571672630317
x22=31.8548579374966x_{22} = 31.8548579374966
x23=0.438931401598704x_{23} = 0.438931401598704
x24=96.9504408596849x_{24} = 96.9504408596849
x25=−6999.02950079646x_{25} = -6999.02950079646
x26=84.3840702453257x_{26} = 84.3840702453257
x27=−74.9592922845563x_{27} = -74.9592922845563
x28=56.987599166215x_{28} = 56.987599166215
x29=−16.1468946695477x_{29} = -16.1468946695477
x30=140.932738009942x_{30} = 140.932738009942
x31=−34.9964505910864x_{31} = -34.9964505910864
x32=−85.2619330485231x_{32} = -85.2619330485231
x33=−87.5256628989155x_{33} = -87.5256628989155
x34=71.8176996309665x_{34} = 71.8176996309665
x35=100.969896316472x_{35} = 100.969896316472
x36=−9.86370936236808x_{36} = -9.86370936236808
x37=−47.5628212054456x_{37} = -47.5628212054456
x38=82.1203403949333x_{38} = 82.1203403949333
x39=−62.3929216701972x_{39} = -62.3929216701972
x40=−12.1274392127605x_{40} = -12.1274392127605
x41=−28.7132652839068x_{41} = -28.7132652839068
x42=−66.4123771269844x_{42} = -66.4123771269844
x43=−3.5805240551885x_{43} = -3.5805240551885
x44=13.0053020159579x_{44} = 13.0053020159579
x45=6.72211670877829x_{45} = 6.72211670877829
x46=8.98584655917068x_{46} = 8.98584655917068
x47=−30.9769951342992x_{47} = -30.9769951342992
x48=−4435.48989546719x_{48} = -4435.48989546719
x49=27.8354024807094x_{49} = 27.8354024807094
x50=46.6849584022482x_{50} = 46.6849584022482
x51=38.1380432446762x_{51} = 38.1380432446762
x52=50.7044138590354x_{52} = 50.7044138590354
x53=−97.8283036628823x_{53} = -97.8283036628823
x54=−91.5451183557027x_{54} = -91.5451183557027
x55=−18.4106245199401x_{55} = -18.4106245199401
x56=19.2884873231375x_{56} = 19.2884873231375
x57=−106.375218820454x_{57} = -106.375218820454
x58=52.9681437094278x_{58} = 52.9681437094278
x59=90.6672555525053x_{59} = 90.6672555525053
x60=−43.5433657486584x_{60} = -43.5433657486584
x61=−5.84425390558088x_{61} = -5.84425390558088
x62=40.4017730950686x_{62} = 40.4017730950686
x63=88.4035257021129x_{63} = 88.4035257021129
x64=15.2690318663503x_{64} = 15.2690318663503
x65=21.5522171735298x_{65} = 21.5522171735298
x66=94.6867110092925x_{66} = 94.6867110092925
x67=−81.2424775917359x_{67} = -81.2424775917359
x68=−93.8088482060951x_{68} = -93.8088482060951
x69=78.1008849381461x_{69} = 78.1008849381461
x70=−100.092033513275x_{70} = -100.092033513275
x71=75.8371550877537x_{71} = 75.8371550877537
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 5*sin(x) - 3*cos(x)^2 + 1/3.
(−3cos⁡2(0)+5sin⁡(0))+13\left(- 3 \cos^{2}{\left(0 \right)} + 5 \sin{\left(0 \right)}\right) + \frac{1}{3}
Resultado:
f(0)=−83f{\left(0 \right)} = - \frac{8}{3}
Punto:
(0, -8/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6sin⁡(x)cos⁡(x)+5cos⁡(x)=06 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=−2atan⁡(65−115)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{6}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} \right)}
x4=−2atan⁡(115+65)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{5} + \frac{6}{5} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi         
(----, -14/3)
  2          

 pi       
(--, 16/3)
 2        

        /      ____\           /      /      ____\\         /      /      ____\\ 
        |6   \/ 11 |  1        |      |6   \/ 11 ||        2|      |6   \/ 11 || 
(-2*atan|- - ------|, - - 5*sin|2*atan|- - ------|| - 3*cos |2*atan|- - ------||)
        \5     5   /  3        \      \5     5   //         \      \5     5   // 

        /      ____\           /      /      ____\\         /      /      ____\\ 
        |6   \/ 11 |  1        |      |6   \/ 11 ||        2|      |6   \/ 11 || 
(-2*atan|- + ------|, - - 5*sin|2*atan|- + ------|| - 3*cos |2*atan|- + ------||)
        \5     5   /  3        \      \5     5   //         \      \5     5   //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2atan⁡(65−115)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{6}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} \right)}
x2=−2atan⁡(115+65)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{5} + \frac{6}{5} \right)}
Puntos máximos de la función:
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
[−2atan⁡(115+65),−π2]∪[−2atan⁡(65−115),∞)\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{5} + \frac{6}{5} \right)}, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{6}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(115+65)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{5} + \frac{6}{5} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−6sin⁡2(x)−5sin⁡(x)+6cos⁡2(x)=0- 6 \sin^{2}{\left(x \right)} - 5 \sin{\left(x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(−512+297−531312+31312)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{5}{12} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{97 - 5 \sqrt{313}}}{12} + \frac{\sqrt{313}}{12} \right)}
x2=2atan⁡(512+31312+25313+9712)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} + \frac{\sqrt{313}}{12} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 \sqrt{313} + 97}}{12} \right)}
x3=2atan⁡(−31312+297−531312+512)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{313}}{12} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{97 - 5 \sqrt{313}}}{12} + \frac{5}{12} \right)}
x4=2atan⁡(−25313+9712+512+31312)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 \sqrt{313} + 97}}{12} + \frac{5}{12} + \frac{\sqrt{313}}{12} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(512+31312+25313+9712),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} + \frac{\sqrt{313}}{12} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 \sqrt{313} + 97}}{12} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2atan⁡(−31312+297−531312+512)]∪[2atan⁡(−25313+9712+512+31312),2atan⁡(512+31312+25313+9712)]\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{313}}{12} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{97 - 5 \sqrt{313}}}{12} + \frac{5}{12} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 \sqrt{313} + 97}}{12} + \frac{5}{12} + \frac{\sqrt{313}}{12} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} + \frac{\sqrt{313}}{12} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{5 \sqrt{313} + 97}}{12} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((5sin⁡(x)−3cos⁡2(x))+13)=⟨−233,163⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{1}{3}\right) = \left\langle - \frac{23}{3}, \frac{16}{3}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−233,163⟩y = \left\langle - \frac{23}{3}, \frac{16}{3}\right\rangle
lim⁡x→∞((5sin⁡(x)−3cos⁡2(x))+13)=⟨−233,163⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{1}{3}\right) = \left\langle - \frac{23}{3}, \frac{16}{3}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−233,163⟩y = \left\langle - \frac{23}{3}, \frac{16}{3}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 5*sin(x) - 3*cos(x)^2 + 1/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((5sin⁡(x)−3cos⁡2(x))+13x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{1}{3}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((5sin⁡(x)−3cos⁡2(x))+13x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{1}{3}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(5sin⁡(x)−3cos⁡2(x))+13=−5sin⁡(x)−3cos⁡2(x)+13\left(5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{1}{3} = - 5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{3}
- No
(5sin⁡(x)−3cos⁡2(x))+13=5sin⁡(x)+3cos⁡2(x)−13\left(5 \sin{\left(x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \frac{1}{3} = 5 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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