Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -3cos(x-1)+2

Gráfico de la función y = -3cos(x-1)+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -3*cos(x - 1) + 2
f(x)=2−3cos⁡(x−1)f{\left(x \right)} = 2 - 3 \cos{\left(x - 1 \right)} 
f = 2 - 3*cos(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-510
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2−3cos⁡(x−1)=02 - 3 \cos{\left(x - 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=acos⁡(23)+1x_{1} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} + 1
x2=−acos⁡(23)+1+2πx_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} + 1 + 2 \pi
Solución numérica
x1=96.0888482782617x_{1} = 96.0888482782617
x2=58.3897364351842x_{2} = 58.3897364351842
x3=−94.0888482782617x_{3} = -94.0888482782617
x4=83.5224776639025x_{4} = 83.5224776639025
x5=26.9738098992863x_{5} = 26.9738098992863
x6=1993.6108110465x_{6} = 1993.6108110465
x7=56.7075990940483x_{7} = 56.7075990940483
x8=100.689896244305x_{8} = 100.689896244305
x9=44.1412284796892x_{9} = 44.1412284796892
x10=−87.8056629710821x_{10} = -87.8056629710821
x11=25.2916725581504x_{11} = 25.2916725581504
x12=0.15893132943207x_{12} = 0.15893132943207
x13=6.44211663661166x_{13} = 6.44211663661166
x14=−86.1235256299463x_{14} = -86.1235256299463
x15=−42.1412284796892x_{15} = -42.1412284796892
x16=−35.8580431725096x_{16} = -35.8580431725096
x17=−7016.47691944903x_{17} = -7016.47691944903
x18=52.1065511280046x_{18} = 52.1065511280046
x19=−431.698717524824x_{19} = -431.698717524824
x20=69.2739697084075x_{20} = 69.2739697084075
x21=−43.823365820825x_{21} = -43.823365820825
x22=39.5401805136454x_{22} = 39.5401805136454
x23=−81.5224776639025x_{23} = -81.5224776639025
x24=−56.3897364351842x_{24} = -56.3897364351842
x25=70.9561070495434x_{25} = 70.9561070495434
x26=−31.2569952064659x_{26} = -31.2569952064659
x27=−29.57485786533x_{27} = -29.57485786533
x28=−79.8403403227667x_{28} = -79.8403403227667
x29=−295.150778108008x_{29} = -295.150778108008
x30=50.4244137868688x_{30} = 50.4244137868688
x31=31.57485786533x_{31} = 31.57485786533
x32=−92.4067109371259x_{32} = -92.4067109371259
x33=−12.4074392849271x_{33} = -12.4074392849271
x34=89.8056629710821x_{34} = 89.8056629710821
x35=37.8580431725096x_{35} = 37.8580431725096
x36=62.9907844012279x_{36} = 62.9907844012279
x37=−54.7075990940483x_{37} = -54.7075990940483
x38=−37.5401805136454x_{38} = -37.5401805136454
x39=−67.2739697084075x_{39} = -67.2739697084075
x40=8.12425397774752x_{40} = 8.12425397774752
x41=45.823365820825x_{41} = 45.823365820825
x42=94.4067109371259x_{42} = 94.4067109371259
x43=−73.5571550155871x_{43} = -73.5571550155871
x44=14.4074392849271x_{44} = 14.4074392849271
x45=−60.9907844012279x_{45} = -60.9907844012279
x46=75.5571550155871x_{46} = 75.5571550155871
x47=−68.9561070495434x_{47} = -68.9561070495434
x48=−10.7253019437912x_{48} = -10.7253019437912
x49=64.6729217423638x_{49} = 64.6729217423638
x50=−17.0084872509708x_{50} = -17.0084872509708
x51=−6.12425397774752x_{51} = -6.12425397774752
x52=−24.9738098992863x_{52} = -24.9738098992863
x53=−75.239292356723x_{53} = -75.239292356723
x54=12.7253019437912x_{54} = 12.7253019437912
x55=−98.6898962443055x_{55} = -98.6898962443055
x56=33.2569952064659x_{56} = 33.2569952064659
x57=20.6906245921067x_{57} = 20.6906245921067
x58=81.8403403227667x_{58} = 81.8403403227667
x59=259.451666264931x_{59} = 259.451666264931
x60=−50.1065511280046x_{60} = -50.1065511280046
x61=−23.2916725581504x_{61} = -23.2916725581504
x62=−4.44211663661166x_{62} = -4.44211663661166
x63=88.1235256299463x_{63} = 88.1235256299463
x64=77.239292356723x_{64} = 77.239292356723
x65=19.0084872509708x_{65} = 19.0084872509708
x66=−62.6729217423638x_{66} = -62.6729217423638
x67=−5679.84058636091x_{67} = -5679.84058636091
x68=1.84106867056793x_{68} = 1.84106867056793
x69=−18.6906245921067x_{69} = -18.6906245921067
x70=−100.372033585441x_{70} = -100.372033585441
x71=−48.4244137868688x_{71} = -48.4244137868688
x72=414.849161603285x_{72} = 414.849161603285
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -3*cos(x - 1) + 2.
2−3cos⁡(−1)2 - 3 \cos{\left(-1 \right)}
Resultado:
f(0)=2−3cos⁡(1)f{\left(0 \right)} = 2 - 3 \cos{\left(1 \right)}
Punto:
(0, 2 - 3*cos(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3sin⁡(x−1)=03 \sin{\left(x - 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=1+πx_{2} = 1 + \pi
Signos de extremos en los puntos:
(1, -1)

(1 + pi, 5)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=1+πx_{1} = 1 + \pi
Decrece en los intervalos
[1,1+π]\left[1, 1 + \pi\right]
Crece en los intervalos
(−∞,1]∪[1+π,∞)\left(-\infty, 1\right] \cup \left[1 + \pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3cos⁡(x−1)=03 \cos{\left(x - 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1+π2x_{1} = 1 + \frac{\pi}{2}
x2=1+3π2x_{2} = 1 + \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1+π2]∪[1+3π2,∞)\left(-\infty, 1 + \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[1 + \frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[1+π2,1+3π2]\left[1 + \frac{\pi}{2}, 1 + \frac{3 \pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2−3cos⁡(x−1))=⟨−1,5⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 - 3 \cos{\left(x - 1 \right)}\right) = \left\langle -1, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,5⟩y = \left\langle -1, 5\right\rangle
lim⁡x→∞(2−3cos⁡(x−1))=⟨−1,5⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 - 3 \cos{\left(x - 1 \right)}\right) = \left\langle -1, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,5⟩y = \left\langle -1, 5\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -3*cos(x - 1) + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2−3cos⁡(x−1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - 3 \cos{\left(x - 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2−3cos⁡(x−1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 3 \cos{\left(x - 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2−3cos⁡(x−1)=2−3cos⁡(x+1)2 - 3 \cos{\left(x - 1 \right)} = 2 - 3 \cos{\left(x + 1 \right)}
- No
2−3cos⁡(x−1)=3cos⁡(x+1)−22 - 3 \cos{\left(x - 1 \right)} = 3 \cos{\left(x + 1 \right)} - 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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