Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- (doce - tres *x^ dos)/(x^ dos + doce)
- (12 menos 3 multiplicar por x al cuadrado ) dividir por (x al cuadrado más 12)
- (doce menos tres multiplicar por x en el grado dos) dividir por (x en el grado dos más doce)
- (12-3*x2)/(x2+12)
- 12-3*x2/x2+12
- (12-3*x²)/(x²+12)
- (12-3*x en el grado 2)/(x en el grado 2+12)
- (12-3x^2)/(x^2+12)
- (12-3x2)/(x2+12)
- 12-3x2/x2+12
- 12-3x^2/x^2+12
- (12-3*x^2) dividir por (x^2+12)
-
Expresiones semejantes
- (12+3*x^2)/(x^2+12)
- (12-3*x^2)/(x^2-12)
Gráfico de la función y = (12-3*x^2)/(x^2+12)
Solución
Ha introducido
[src]
2
12 - 3*x
f(x) = ---------
2
x + 12
$$f{\left(x \right)} = \frac{12 - 3 x^{2}}{x^{2} + 12}$$
f = (12 - 3*x^2)/(x^2 + 12)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{12 - 3 x^{2}}{x^{2} + 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{12 - 3 x^{2}}{x^{2} + 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(12 - 3 x^{2}\right)}{\left(x^{2} + 12\right)^{2}} - \frac{6 x}{x^{2} + 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(12 - 3 x^{2}\right)}{\left(x^{2} + 12\right)^{2}} - \frac{6 x}{x^{2} + 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 12} - \frac{\left(x^{2} - 4\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 12} - 1\right)}{x^{2} + 12} - 1\right)}{x^{2} + 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-2, 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 12} - \frac{\left(x^{2} - 4\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 12} - 1\right)}{x^{2} + 12} - 1\right)}{x^{2} + 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-2, 2\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{12 - 3 x^{2}}{x^{2} + 12}\right) = -3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 - 3 x^{2}}{x^{2} + 12}\right) = -3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -3$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{12 - 3 x^{2}}{x^{2} + 12}\right) = -3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 - 3 x^{2}}{x^{2} + 12}\right) = -3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -3$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (12 - 3*x^2)/(x^2 + 12), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{12 - 3 x^{2}}{x \left(x^{2} + 12\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 - 3 x^{2}}{x \left(x^{2} + 12\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{12 - 3 x^{2}}{x \left(x^{2} + 12\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 - 3 x^{2}}{x \left(x^{2} + 12\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{12 - 3 x^{2}}{x^{2} + 12} = \frac{12 - 3 x^{2}}{x^{2} + 12}$$
- Sí
$$\frac{12 - 3 x^{2}}{x^{2} + 12} = - \frac{12 - 3 x^{2}}{x^{2} + 12}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{12 - 3 x^{2}}{x^{2} + 12} = \frac{12 - 3 x^{2}}{x^{2} + 12}$$
- Sí
$$\frac{12 - 3 x^{2}}{x^{2} + 12} = - \frac{12 - 3 x^{2}}{x^{2} + 12}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico