Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/(sqrt(x+3)+1)

Gráfico de la función y = 1/(sqrt(x+3)+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             1      
f(x) = -------------
         _______    
       \/ x + 3  + 1
f(x)=1x+3+1f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 1} 
f = 1/(sqrt(x + 3) + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1x+3+1=0\frac{1}{\sqrt{x + 3} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(sqrt(x + 3) + 1).
11+3\frac{1}{1 + \sqrt{3}}
Resultado:
f(0)=11+3f{\left(0 \right)} = \frac{1}{1 + \sqrt{3}}
Punto:
(0, 1/(1 + sqrt(3)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−12x+3(x+3+1)2=0- \frac{1}{2 \sqrt{x + 3} \left(\sqrt{x + 3} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x+3)(x+3+1)+1(x+3)324(x+3+1)2=0\frac{\frac{2}{\left(x + 3\right) \left(\sqrt{x + 3} + 1\right)} + \frac{1}{\left(x + 3\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \left(\sqrt{x + 3} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1x+3+1=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 1} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1x+3+1=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 1} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(sqrt(x + 3) + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(x+3+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{x + 3} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x(x+3+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sqrt{x + 3} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1x+3+1=13−x+1\frac{1}{\sqrt{x + 3} + 1} = \frac{1}{\sqrt{3 - x} + 1}
- No
1x+3+1=−13−x+1\frac{1}{\sqrt{x + 3} + 1} = - \frac{1}{\sqrt{3 - x} + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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