Sr Examen

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Gráfico de la función y = -sqrt(2*x+3*x^2)+x*sqrt(3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
            ____________          
           /          2        ___
f(x) = - \/  2*x + 3*x   + x*\/ 3 
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} + 2 x}$$
f = sqrt(3)*x - sqrt(3*x^2 + 2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} + 2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -sqrt(2*x + 3*x^2) + x*sqrt(3).
$$- \sqrt{0 \cdot 2 + 3 \cdot 0^{2}} + 0 \sqrt{3}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 x + 1}{\sqrt{3 x^{2} + 2 x}} + \sqrt{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{-3 + \frac{\left(3 x + 1\right)^{2}}{x \left(3 x + 2\right)}}{\sqrt{x \left(3 x + 2\right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} + 2 x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} + 2 x}\right) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -sqrt(2*x + 3*x^2) + x*sqrt(3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} + 2 x}}{x}\right) = 2 \sqrt{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 2 \sqrt{3} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} + 2 x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} + 2 x} = - \sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} - 2 x}$$
- No
$$\sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} + 2 x} = \sqrt{3} x + \sqrt{3 x^{2} - 2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar