Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -sqrt(2*x+3*x^2)+x*sqrt(3)

Gráfico de la función y = -sqrt(2*x+3*x^2)+x*sqrt(3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            ____________          
           /          2        ___
f(x) = - \/  2*x + 3*x   + x*\/ 3
f(x)=3x−3x2+2xf{\left(x \right)} = \sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} + 2 x} 
f = sqrt(3)*x - sqrt(3*x^2 + 2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3x−3x2+2x=0\sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} + 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -sqrt(2*x + 3*x^2) + x*sqrt(3).
−0⋅2+3⋅02+03- \sqrt{0 \cdot 2 + 3 \cdot 0^{2}} + 0 \sqrt{3}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x+13x2+2x+3=0- \frac{3 x + 1}{\sqrt{3 x^{2} + 2 x}} + \sqrt{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3+(3x+1)2x(3x+2)x(3x+2)=0\frac{-3 + \frac{\left(3 x + 1\right)^{2}}{x \left(3 x + 2\right)}}{\sqrt{x \left(3 x + 2\right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3x−3x2+2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} + 2 x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(3x−3x2+2x)=−33\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} + 2 x}\right) = - \frac{\sqrt{3}}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−33y = - \frac{\sqrt{3}}{3}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -sqrt(2*x + 3*x^2) + x*sqrt(3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3x−3x2+2xx)=23\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} + 2 x}}{x}\right) = 2 \sqrt{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=23xy = 2 \sqrt{3} x
lim⁡x→∞(3x−3x2+2xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} + 2 x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3x−3x2+2x=−3x−3x2−2x\sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} + 2 x} = - \sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} - 2 x}
- No
3x−3x2+2x=3x+3x2−2x\sqrt{3} x - \sqrt{3 x^{2} + 2 x} = \sqrt{3} x + \sqrt{3 x^{2} - 2 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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