Sr Examen

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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Gráfico de la función y =:
(5x^4+3)/(x)
5x^3-10x^2
(6/x)+(2/3)+(9+x)/6
(6x+3)/(3x-1)
Expresiones idénticas
z/((z+ cuatro)^ cinco (z- cuatro)^ cinco)
z dividir por ((z más 4) en el grado 5(z menos 4) en el grado 5)
z dividir por ((z más cuatro) en el grado cinco (z menos cuatro) en el grado cinco)
z/((z+4)5(z-4)5)
z/z+45z-45
z/((z+4)⁵(z-4)⁵)
z/z+4^5z-4^5
z dividir por ((z+4)^5(z-4)^5)
Expresiones semejantes
z/((z+4)^5(z+4)^5)
z/((z-4)^5(z-4)^5)

Trazado el gráfico de la función/ z/((z+4)^5(z-4)^5)

Gráfico de la función y = z/((z+4)^5(z-4)^5)

Solución

Ha introducido [src]

               z        
f(z) = -----------------
              5        5
       (z + 4) *(z - 4)

f{\left(z \right)} = \frac{z}{\left(z - 4\right)^{5} \left(z + 4\right)^{5}}

f = z/(((z - 4)^5*(z + 4)^5))

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:

z_{1} = -4

z_{2} = 4

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje Z con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\frac{z}{\left(z - 4\right)^{5} \left(z + 4\right)^{5}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Z:

Solución analítica

z_{1} = 0

Solución numérica

z_{1} = -675.356196651717

z_{2} = -822.136574608495

z_{3} = -913.841137202641

z_{4} = 291.942488849163

z_{5} = 586.41075639497

z_{6} = 142.713721630629

z_{7} = 788.289978867059

z_{8} = 104.264040171633

z_{9} = 420.997700724005

z_{10} = -712.059149539535

z_{11} = 63.8342295406101

z_{12} = 84.4619846732876

z_{13} = 199.13222642196

z_{14} = -196.239545946285

z_{15} = -767.103051672862

z_{16} = -381.32665937266

z_{17} = 861.661607225077

z_{18} = 273.444814544779

z_{19} = -693.708449087796

z_{20} = -510.088486124433

z_{21} = -289.078984987318

z_{22} = 457.788164892533

z_{23} = 365.757085097063

z_{24} = 254.921921125913

z_{25} = 531.308540188794

z_{26} = -601.928831470854

z_{27} = -730.40841486318

z_{28} = 236.367927987993

z_{29} = 843.320056626815

z_{30} = -307.558875178693

z_{31} = -60.5183671005194

z_{32} = 161.629584169458

z_{33} = -895.501764699899

z_{34} = -81.336837464981

z_{35} = 733.250338121512

z_{36} = 217.774961469809

z_{37} = -418.147493805711

z_{38} = 347.324260864478

z_{39} = -528.462930241223

z_{40} = 512.934661945764

z_{41} = -748.756350465446

z_{42} = 880.002347675118

z_{43} = -638.646501284502

z_{44} = 751.598077153276

z_{45} = 439.395982456052

z_{46} = -473.327442488487

z_{47} = 41.307312147053

z_{48} = 604.772670373424

z_{49} = 384.179345036572

z_{50} = -657.002262326593

z_{51} = 898.342327564565

z_{52} = 568.046273963859

z_{53} = 328.879103816567

z_{54} = -546.833866163349

z_{55} = 494.556947320248

z_{56} = 806.634304093158

z_{57} = -436.546787893401

z_{58} = -803.793088711002

z_{59} = -270.577739709312

z_{60} = 769.944595687334

z_{61} = -177.520034138688

z_{62} = 678.198808473576

z_{63} = 641.489673984098

z_{64} = -326.021022532078

z_{65} = -252.050470937241

z_{66} = -120.64556582181

z_{67} = -214.891181001191

z_{68} = -858.820808265395

z_{69} = 714.901284712509

z_{70} = -344.468266430392

z_{71} = -101.232912854504

z_{72} = 824.977641884545

z_{73} = -399.741124669483

z_{74} = -139.770373672231

z_{75} = -491.710141329223

z_{76} = -37.4730398885051

z_{77} = 0

z_{78} = 180.42450102872

z_{79} = 916.68159251387

z_{80} = 696.550813160006

z_{81} = -362.902869975143

z_{82} = 310.419426246647

z_{83} = 402.592485981475

z_{84} = -840.479127889271

z_{85} = -583.566536447446

z_{86} = -785.448604909102

z_{87} = 476.174953079748

z_{88} = 623.132242637472

z_{89} = -233.491035720657

z_{90} = -454.939863054799

z_{91} = -877.161670456264

z_{92} = 123.622825808285

z_{93} = 549.678966067849

z_{94} = -158.709031527447

z_{95} = -620.288751566535

z_{96} = 659.845142877916

z_{97} = -565.201635387285

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando z es igual a 0:
sustituimos z = 0 en z/(((z + 4)^5*(z - 4)^5)).

\frac{0}{\left(-4\right)^{5} \cdot 4^{5}}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = 0

Punto:

(0, 0)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} =

primera derivada

\frac{z \left(- 5 \left(z - 4\right)^{5} \left(z + 4\right)^{4} - 5 \left(z - 4\right)^{4} \left(z + 4\right)^{5}\right)}{\left(z - 4\right)^{10} \left(z + 4\right)^{10}} + \frac{1}{\left(z - 4\right)^{5} \left(z + 4\right)^{5}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} =

segunda derivada

\frac{10 z \left(5 z \left(\frac{1}{z + 4} + \frac{1}{z - 4}\right) + \frac{5 z}{z + 4} + \frac{5 z}{z - 4} - 2 - \frac{2 \left(z - 4\right)^{2} + 5 \left(z - 4\right) \left(z + 4\right) + 2 \left(z + 4\right)^{2}}{\left(z - 4\right) \left(z + 4\right)}\right)}{\left(z - 4\right)^{6} \left(z + 4\right)^{6}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

z_{1} = 0

Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:

z_{1} = -4

z_{2} = 4

\lim_{z \to -4^-}\left(\frac{10 z \left(5 z \left(\frac{1}{z + 4} + \frac{1}{z - 4}\right) + \frac{5 z}{z + 4} + \frac{5 z}{z - 4} - 2 - \frac{2 \left(z - 4\right)^{2} + 5 \left(z - 4\right) \left(z + 4\right) + 2 \left(z + 4\right)^{2}}{\left(z - 4\right) \left(z + 4\right)}\right)}{\left(z - 4\right)^{6} \left(z + 4\right)^{6}}\right) = -\infty

\lim_{z \to -4^+}\left(\frac{10 z \left(5 z \left(\frac{1}{z + 4} + \frac{1}{z - 4}\right) + \frac{5 z}{z + 4} + \frac{5 z}{z - 4} - 2 - \frac{2 \left(z - 4\right)^{2} + 5 \left(z - 4\right) \left(z + 4\right) + 2 \left(z + 4\right)^{2}}{\left(z - 4\right) \left(z + 4\right)}\right)}{\left(z - 4\right)^{6} \left(z + 4\right)^{6}}\right) = \infty

- los límites no son iguales, signo

z_{1} = -4

- es el punto de flexión

\lim_{z \to 4^-}\left(\frac{10 z \left(5 z \left(\frac{1}{z + 4} + \frac{1}{z - 4}\right) + \frac{5 z}{z + 4} + \frac{5 z}{z - 4} - 2 - \frac{2 \left(z - 4\right)^{2} + 5 \left(z - 4\right) \left(z + 4\right) + 2 \left(z + 4\right)^{2}}{\left(z - 4\right) \left(z + 4\right)}\right)}{\left(z - 4\right)^{6} \left(z + 4\right)^{6}}\right) = -\infty

\lim_{z \to 4^+}\left(\frac{10 z \left(5 z \left(\frac{1}{z + 4} + \frac{1}{z - 4}\right) + \frac{5 z}{z + 4} + \frac{5 z}{z - 4} - 2 - \frac{2 \left(z - 4\right)^{2} + 5 \left(z - 4\right) \left(z + 4\right) + 2 \left(z + 4\right)^{2}}{\left(z - 4\right) \left(z + 4\right)}\right)}{\left(z - 4\right)^{6} \left(z + 4\right)^{6}}\right) = \infty

- los límites no son iguales, signo

z_{2} = 4

- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos

\left(-\infty, 0\right]

Convexa en los intervalos

\left[0, \infty\right)

Asíntotas verticales

Hay:

z_{1} = -4

z_{2} = 4

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con z->+oo y z->-oo

\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{z}{\left(z - 4\right)^{5} \left(z + 4\right)^{5}}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:

y = 0

\lim_{z \to \infty}\left(\frac{z}{\left(z - 4\right)^{5} \left(z + 4\right)^{5}}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:

y = 0

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función z/(((z + 4)^5*(z - 4)^5)), dividida por z con z->+oo y z ->-oo

\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{1}{\left(z - 4\right)^{5} \left(z + 4\right)^{5}}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha

\lim_{z \to \infty}\left(\frac{1}{\left(z - 4\right)^{5} \left(z + 4\right)^{5}}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-z) и f = -f(-z).
Pues, comprobamos:

\frac{z}{\left(z - 4\right)^{5} \left(z + 4\right)^{5}} = - \frac{z}{\left(4 - z\right)^{5} \left(- z - 4\right)^{5}}

- No

\frac{z}{\left(z - 4\right)^{5} \left(z + 4\right)^{5}} = \frac{z}{\left(4 - z\right)^{5} \left(- z - 4\right)^{5}}

- No
es decir, función
no es
par ni impar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Gráfico de la función y = z/((z+4)^5(z-4)^5)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución