Gráfico de la función y = 1-cbrt(x*(x+1))

Solución

Ha introducido [src]

           3 ___________
f(x) = 1 - \/ x*(x + 1)

$$f{\left(x \right)} = 1 - \sqrt[3]{x \left(x + 1\right)}$$

f = 1 - (x*(x + 1))^(1/3)

Gráfico de la función

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$1 - \sqrt[3]{x \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.61803398874989$$
$$x_{2} = 0.618033988749895$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 - (x*(x + 1))^(1/3).
$$1 - \sqrt[3]{0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:

(0, 1)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sqrt[3]{x \left(x + 1\right)} \left(\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}\right)}{x \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{1 + 4 \left(- \frac{\sqrt[3]{-2}}{4} - \frac{\left(-1\right)^{\frac{5}{6}} \sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{4}\right)^{3}}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:

           3 ____ 
           \/ -2  
(-1/2, 1 - ------)
             2

                                                                     _______________________________________________________________________________________________________________ 
             _________________________________________              / /          _________________________________________\ /            _________________________________________\  
            /                                       3              /  |         /                                       3 | |           /                                       3 |  
           /        /  3 ____       5/6 3 ___   ___\              /   |        /        /  3 ____       5/6 3 ___   ___\  | |          /        /  3 ____       5/6 3 ___   ___\  |  
          /         |  \/ -2    (-1)   *\/ 2 *\/ 3 |             /    |       /         |  \/ -2    (-1)   *\/ 2 *\/ 3 |  | |         /         |  \/ -2    (-1)   *\/ 2 *\/ 3 |  |  
         /    1 + 4*|- ------ - -------------------|            /     |      /    1 + 4*|- ------ - -------------------|  | |        /    1 + 4*|- ------ - -------------------|  |  
   1   \/           \    4               4         /           /      |1   \/           \    4               4         /  | |  1   \/           \    4               4         /  |  
(- - - -----------------------------------------------, 1 - 3 /       |- - -----------------------------------------------|*|- - - -----------------------------------------------| )
   2                          2                             \/        \2                          2                       / \  2                          2                       /

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\sqrt[3]{x \left(x + 1\right)} \left(-6 + \frac{3 \left(2 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{3 \left(2 x + 1\right)}{x} - \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right)}{9 x \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 - \sqrt[3]{x \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 - \sqrt[3]{x \left(x + 1\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - (x*(x + 1))^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \sqrt[3]{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \sqrt[3]{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Gráfico de la función y = 1-cbrt(x*(x+1))

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución