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Trazado el gráfico de la función/ x^3-1/5x^2+2x-4

Gráfico de la función y = x^3-1/5x^2+2x-4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             2          
        3   x           
f(x) = x  - -- + 2*x - 4
            5
f(x)=(2x+(x3−x25))−4f{\left(x \right)} = \left(2 x + \left(x^{3} - \frac{x^{2}}{5}\right)\right) - 4 
f = 2*x + x^3 - x^2/5 - 4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2x+(x3−x25))−4=0\left(2 x + \left(x^{3} - \frac{x^{2}}{5}\right)\right) - 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−14922565263375+22665753+115+65263375+22665753x_{1} = - \frac{149}{225 \sqrt[3]{\frac{6526}{3375} + \frac{\sqrt{22665}}{75}}} + \frac{1}{15} + \sqrt[3]{\frac{6526}{3375} + \frac{\sqrt{22665}}{75}}
Solución numérica
x1=1.22697041281956x_{1} = 1.22697041281956
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - x^2/5 + 2*x - 4.
−4+((03−025)+0⋅2)-4 + \left(\left(0^{3} - \frac{0^{2}}{5}\right) + 0 \cdot 2\right)
Resultado:
f(0)=−4f{\left(0 \right)} = -4
Punto:
(0, -4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−2x5+2=03 x^{2} - \frac{2 x}{5} + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x−15)=02 \left(3 x - \frac{1}{5}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=115x_{1} = \frac{1}{15}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[115,∞)\left[\frac{1}{15}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,115]\left(-\infty, \frac{1}{15}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((2x+(x3−x25))−4)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 x + \left(x^{3} - \frac{x^{2}}{5}\right)\right) - 4\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((2x+(x3−x25))−4)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 x + \left(x^{3} - \frac{x^{2}}{5}\right)\right) - 4\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - x^2/5 + 2*x - 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2x+(x3−x25))−4x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x + \left(x^{3} - \frac{x^{2}}{5}\right)\right) - 4}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((2x+(x3−x25))−4x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + \left(x^{3} - \frac{x^{2}}{5}\right)\right) - 4}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2x+(x3−x25))−4=−x3−x25−2x−4\left(2 x + \left(x^{3} - \frac{x^{2}}{5}\right)\right) - 4 = - x^{3} - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 4
- No
(2x+(x3−x25))−4=x3+x25+2x+4\left(2 x + \left(x^{3} - \frac{x^{2}}{5}\right)\right) - 4 = x^{3} + \frac{x^{2}}{5} + 2 x + 4
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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