-x^2+6x+9>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- x^{2} + 6 x\right) + 9 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- x^{2} + 6 x\right) + 9 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 6$$
$$c = 9$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(6)^2 - 4 * (-1) * (9) = 72

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 3 - 3 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 3 + 3 \sqrt{2}$$
$$x_{1} = 3 - 3 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 3 + 3 \sqrt{2}$$
$$x_{1} = 3 - 3 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 3 + 3 \sqrt{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 3 - 3 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 3 + 3 \sqrt{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(3 - 3 \sqrt{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{29}{10} - 3 \sqrt{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- x^{2} + 6 x\right) + 9 > 0$$
$$\left(6 \left(\frac{29}{10} - 3 \sqrt{2}\right) - \left(\frac{29}{10} - 3 \sqrt{2}\right)^{2}\right) + 9 > 0$$

                    2               
132   /29       ___\         ___    
--- - |-- - 3*\/ 2 |  - 18*\/ 2  > 0
 5    \10          /                
    

Entonces
$$x < 3 - 3 \sqrt{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 3 - 3 \sqrt{2} \wedge x < 3 + 3 \sqrt{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2