|3x+1|+2≤7 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{3 x + 1}\right| + 2 \leq 7$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{3 x + 1}\right| + 2 = 7$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$3 x + 1 \geq 0$$
o
$$- \frac{1}{3} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 x + 1\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 x - 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$

2.
$$3 x + 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{1}{3}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(- 3 x - 1\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 3 x - 6 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -2$$


$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
$$x_{2} = -2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{3 x + 1}\right| + 2 \leq 7$$
$$2 + \left|{\frac{\left(-21\right) 3}{10} + 1}\right| \leq 7$$

73     
-- <= 7
10     

pero

73     
-- >= 7
10     

Entonces
$$x \leq -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -2 \wedge x \leq \frac{4}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1