Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 5}\right| \leq 8$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 5}\right| = 8$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.
1.$$x - 5 \geq 0$$
o
$$5 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 5\right) - 8 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - 13 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 13$$
2.$$x - 5 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 5$$
obtenemos la ecuación
$$\left(5 - x\right) - 8 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 13$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 13$$
$$x_{2} = -3$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 13$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 5}\right| \leq 8$$
$$\left|{-5 + - \frac{31}{10}}\right| \leq 8$$
81
-- <= 8
10
pero
81
-- >= 8
10
Entonces
$$x \leq -3$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -3 \wedge x \leq 13$$
_____
/ \
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x2 x1