|x+2|-|x-3|>4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \left|{x - 3}\right| + \left|{x + 2}\right| > 4$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \left|{x - 3}\right| + \left|{x + 2}\right| = 4$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x + 2 \geq 0$$
$$x - 3 \geq 0$$
o
$$3 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$- (x - 3) + \left(x + 2\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
incorrecto
la resolución en este intervalo:

2.
$$x + 2 \geq 0$$
$$x - 3 < 0$$
o
$$-2 \leq x \wedge x < 3$$
obtenemos la ecuación
$$- (3 - x) + \left(x + 2\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x - 5 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$

3.
$$x + 2 < 0$$
$$x - 3 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

4.
$$x + 2 < 0$$
$$x - 3 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -2$$
obtenemos la ecuación
$$- (3 - x) + \left(- x - 2\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
incorrecto
la resolución en este intervalo:


$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{5}{2}$$
=
$$\frac{12}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \left|{x - 3}\right| + \left|{x + 2}\right| > 4$$
$$- \left|{-3 + \frac{12}{5}}\right| + \left|{2 + \frac{12}{5}}\right| > 4$$

19/5 > 4

Entonces
$$x < \frac{5}{2}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > \frac{5}{2}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1