|(x-1)^2|<9 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{\left(x - 1\right)^{2}}\right| < 9$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{\left(x - 1\right)^{2}}\right| = 9$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$\left(x - 1\right)^{2} \geq 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 1\right)^{2} - 9 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\left(x - 1\right)^{2} - 9 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 4$$

2.
$$\left(x - 1\right)^{2} < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso


$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 4$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{\left(x - 1\right)^{2}}\right| < 9$$
$$\left|{\left(- \frac{21}{10} - 1\right)^{2}}\right| < 9$$

961    
--- < 9
100    

pero

961    
--- > 9
100    

Entonces
$$x < -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -2 \wedge x < 4$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2