(x^2-x-6)*sqrt(8-x)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{8 - x} \left(\left(x^{2} - x\right) - 6\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{8 - x} \left(\left(x^{2} - x\right) - 6\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{8 - x} \left(\left(x^{2} - x\right) - 6\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$8 - x = 0$$
$$x^{2} - x - 6 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$8 - x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- x = -8$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

x = -8 / (-1)

Obtenemos la respuesta: x1 = 8
2.
$$x^{2} - x - 6 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -6$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-6) = 25

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = -2$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = -2$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = -2$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = -2$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 8$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{8 - x} \left(\left(x^{2} - x\right) - 6\right) \leq 0$$
$$\left(-6 + \left(- \frac{-21}{10} + \left(- \frac{21}{10}\right)^{2}\right)\right) \sqrt{8 - - \frac{21}{10}} \leq 0$$

     ______     
51*\/ 1010      
----------- <= 0
    1000        
     

pero

     ______     
51*\/ 1010      
----------- >= 0
    1000        
     

Entonces
$$x \leq -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -2 \wedge x \leq 3$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x3      x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq -2 \wedge x \leq 3$$
$$x \geq 8$$