(4^x-3-2^x)-38(4^x-3-2^x)-80>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- 38 \left(- 2^{x} + \left(4^{x} - 3\right)\right) + \left(- 2^{x} + \left(4^{x} - 3\right)\right)\right) - 80 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- 38 \left(- 2^{x} + \left(4^{x} - 3\right)\right) + \left(- 2^{x} + \left(4^{x} - 3\right)\right)\right) - 80 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(- 38 \left(- 2^{x} + \left(4^{x} - 3\right)\right) + \left(- 2^{x} + \left(4^{x} - 3\right)\right)\right) - 80 = 0$$
o
$$\left(- 38 \left(- 2^{x} + \left(4^{x} - 3\right)\right) + \left(- 2^{x} + \left(4^{x} - 3\right)\right)\right) - 80 = 0$$
Sustituimos
$$v = 2^{x}$$
obtendremos
$$- 37 v^{2} + 37 v + 31 = 0$$
o
$$- 37 v^{2} + 37 v + 31 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -37$$
$$b = 37$$
$$c = 31$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(37)^2 - 4 * (-37) * (31) = 5957

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5957}}{74}$$
$$v_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5957}}{74}$$
hacemos cambio inverso
$$2^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5957}}{74}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5957}}{74}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5957}}{74}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5957}}{74}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5957}}{74}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5957}}{74}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5957}}{74}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5957}}{74}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- 38 \left(- 2^{x} + \left(4^{x} - 3\right)\right) + \left(- 2^{x} + \left(4^{x} - 3\right)\right)\right) - 80 \geq 0$$
$$-80 + \left(\left(\left(-3 + 4^{\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5957}}{74}}\right) - 2^{\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5957}}{74}}\right) - 38 \left(\left(-3 + 4^{\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5957}}{74}}\right) - 2^{\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5957}}{74}}\right)\right) \geq 0$$

               ______             ______     
         2   \/ 5957        2   \/ 5957      
         - - --------       - - -------- >= 0
         5      74          5      74        
31 - 37*4             + 37*2                 

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5957}}{74}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5957}}{74}$$
$$x \geq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5957}}{74}$$