((2/x-4)+(x-4/2))^2<=25/4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\left(-4 + \frac{2}{x}\right) + \left(x - 2\right)\right)^{2} \leq \frac{25}{4}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(-4 + \frac{2}{x}\right) + \left(x - 2\right)\right)^{2} = \frac{25}{4}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(\left(-4 + \frac{2}{x}\right) + \left(x - 2\right)\right)^{2} = \frac{25}{4}$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{\left(2 x^{2} - 17 x + 4\right) \left(2 x^{2} - 7 x + 4\right)}{4 x^{2}} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$\frac{x^{2}}{2} - \frac{17 x}{4} + 1 = 0$$
$$2 x^{2} - 7 x + 4 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$\frac{x^{2}}{2} - \frac{17 x}{4} + 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = \frac{1}{2}$$
$$b = - \frac{17}{4}$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-17/4)^2 - 4 * (1/2) * (1) = 257/16

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{\sqrt{257}}{4} + \frac{17}{4}$$
$$x_{2} = \frac{17}{4} - \frac{\sqrt{257}}{4}$$
3.
$$2 x^{2} - 7 x + 4 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = -7$$
$$c = 4$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7)^2 - 4 * (2) * (4) = 17

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{3} = \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{7}{4}$$
$$x_{4} = \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}$$
pero

x no es igual a 0

$$x_{1} = \frac{\sqrt{257}}{4} + \frac{17}{4}$$
$$x_{2} = \frac{17}{4} - \frac{\sqrt{257}}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{7}{4}$$
$$x_{4} = \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{257}}{4} + \frac{17}{4}$$
$$x_{2} = \frac{17}{4} - \frac{\sqrt{257}}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{7}{4}$$
$$x_{4} = \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{17}{4} - \frac{\sqrt{257}}{4}$$
$$x_{4} = \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{7}{4}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{257}}{4} + \frac{17}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{17}{4} - \frac{\sqrt{257}}{4}\right)$$
=
$$\frac{83}{20} - \frac{\sqrt{257}}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left(-4 + \frac{2}{x}\right) + \left(x - 2\right)\right)^{2} \leq \frac{25}{4}$$
$$\left(\left(-2 + \left(\frac{83}{20} - \frac{\sqrt{257}}{4}\right)\right) + \left(-4 + \frac{2}{\frac{83}{20} - \frac{\sqrt{257}}{4}}\right)\right)^{2} \leq \frac{25}{4}$$

                               2        
/                        _____\         
|  37        2         \/ 257 |         
|- -- + ------------ - -------|         
|  20          _____      4   |  <= 25/4
|       83   \/ 257           |         
|       -- - -------          |         
\       20      4             /         
        

pero

                               2        
/                        _____\         
|  37        2         \/ 257 |         
|- -- + ------------ - -------|         
|  20          _____      4   |  >= 25/4
|       83   \/ 257           |         
|       -- - -------          |         
\       20      4             /         
        

Entonces
$$x \leq \frac{17}{4} - \frac{\sqrt{257}}{4}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{17}{4} - \frac{\sqrt{257}}{4} \wedge x \leq \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}$$

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x2      x4      x3      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq \frac{17}{4} - \frac{\sqrt{257}}{4} \wedge x \leq \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}$$
$$x \geq \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{7}{4} \wedge x \leq \frac{\sqrt{257}}{4} + \frac{17}{4}$$