4^x+2^x+1<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1 = 0$$
o
$$\left(2^{x} + 4^{x}\right) + 1 = 0$$
Sustituimos
$$v = 2^{x}$$
obtendremos
$$v^{2} + v + 1 = 0$$
o
$$v^{2} + v + 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (1) = -3

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$v_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$2^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Descartamos las soluciones complejas:
Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo

x0 = 0

$$1 + \left(4^{0} + 2^{0}\right) < 0$$

3 < 0

pero

3 > 0

signo desigualdades no tiene soluciones