(x-4)*(x-6)/x^2-4<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-4 + \frac{\left(x - 6\right) \left(x - 4\right)}{x^{2}} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-4 + \frac{\left(x - 6\right) \left(x - 4\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$-4 + \frac{\left(x - 6\right) \left(x - 4\right)}{x^{2}} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$- \frac{3 x^{2} + 10 x - 24}{x^{2}} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$- 3 x^{2} - 10 x + 24 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$- 3 x^{2} - 10 x + 24 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -3$$
$$b = -10$$
$$c = 24$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-10)^2 - 4 * (-3) * (24) = 388

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{97}}{3} - \frac{5}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{97}}{3}$$
pero

x no es igual a 0

$$x_{1} = - \frac{\sqrt{97}}{3} - \frac{5}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{97}}{3}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{97}}{3} - \frac{5}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{97}}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{97}}{3} - \frac{5}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{97}}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{97}}{3} - \frac{5}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{97}}{3} - \frac{53}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$-4 + \frac{\left(x - 6\right) \left(x - 4\right)}{x^{2}} < 0$$
$$-4 + \frac{\left(-6 + \left(- \frac{\sqrt{97}}{3} - \frac{53}{30}\right)\right) \left(\left(- \frac{\sqrt{97}}{3} - \frac{53}{30}\right) - 4\right)}{\left(- \frac{\sqrt{97}}{3} - \frac{53}{30}\right)^{2}} < 0$$

     /          ____\ /          ____\    
     |  233   \/ 97 | |  173   \/ 97 |    
     |- --- - ------|*|- --- - ------|    
     \   30     3   / \   30     3   /    
-4 + ---------------------------------    
                             2         < 0
              /         ____\             
              |  53   \/ 97 |             
              |- -- - ------|             
              \  30     3   /             
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{\sqrt{97}}{3} - \frac{5}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{\sqrt{97}}{3} - \frac{5}{3}$$
$$x > - \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{97}}{3}$$