(-x^2+8*x)/(x+6)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{- x^{2} + 8 x}{x + 6} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{- x^{2} + 8 x}{x + 6} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{- x^{2} + 8 x}{x + 6} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
6 + x
obtendremos:
$$\frac{\left(x + 6\right) \left(- x^{2} + 8 x\right)}{x + 6} = 0$$
$$x \left(8 - x\right) = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 8$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(8)^2 - 4 * (-1) * (0) = 64

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 8$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 8$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 8$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 8$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{- x^{2} + 8 x}{x + 6} \leq 0$$
$$\frac{\frac{\left(-1\right) 8}{10} - \left(- \frac{1}{10}\right)^{2}}{- \frac{1}{10} + 6} \leq 0$$

-81      
---- <= 0
590      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 0$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 0$$
$$x \geq 8$$