4sin^2x-8sinx<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)} = 0$$
cambiamos
$$4 \left(\sin{\left(x \right)} - 2\right) \sin{\left(x \right)} = 0$$
$$4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 4$$
$$b = -8$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-8)^2 - 4 * (4) * (0) = 64

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = 2$$
$$w_{2} = 0$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(0 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(0 \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \pi - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)} \leq 0$$
$$4 \sin^{2}{\left(- \frac{1}{10} \right)} - 8 \sin{\left(- \frac{1}{10} \right)} \leq 0$$

     2                         
4*sin (1/10) + 8*sin(1/10) <= 0
     

pero

     2                         
4*sin (1/10) + 8*sin(1/10) >= 0
     

Entonces
$$x \leq 0$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 0 \wedge x \leq \pi$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2