|4+3x|>=2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{3 x + 4}\right| \geq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{3 x + 4}\right| = 2$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$3 x + 4 \geq 0$$
o
$$- \frac{4}{3} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 x + 4\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 x + 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$

2.
$$3 x + 4 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{4}{3}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(- 3 x - 4\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 3 x - 6 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -2$$


$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = -2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{3 x + 4}\right| \geq 2$$
$$\left|{\frac{\left(-21\right) 3}{10} + 4}\right| \geq 2$$

23     
-- >= 2
10     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -2$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -2$$
$$x \geq - \frac{2}{3}$$