-15/(x+1)^2-3>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-3 - \frac{15}{\left(x + 1\right)^{2}} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-3 - \frac{15}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$-3 - \frac{15}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -2 - contiene un número par -2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia -2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\frac{1}{\sqrt{15} i \sqrt{\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{15} i \sqrt{\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}} = \frac{-1}{\sqrt{3}}$$
o
$$- \frac{\sqrt{15} i \left(x + 1\right)}{15} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$- \frac{\sqrt{15} i \left(x + 1\right)}{15} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-i*sqrt151/15+x/15 = sqrt(3)/3

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

-i*sqrt151/15+x/15 = sqrt3/3

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -i*sqrt(15)*(1 + x)/(15*x)

x = sqrt(3)/3 / (-i*sqrt(15)*(1 + x)/(15*x))

Obtenemos la respuesta: x = -1 + i*sqrt(5)
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-i*sqrt151/15+x/15 = -sqrt(3)/3

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

-i*sqrt151/15+x/15 = -sqrt3/3

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -i*sqrt(15)*(1 + x)/(15*x)

x = -sqrt(3)/3 / (-i*sqrt(15)*(1 + x)/(15*x))

Obtenemos la respuesta: x = -1 - i*sqrt(5)
o
$$x_{1} = -1 - \sqrt{5} i$$
$$x_{2} = -1 + \sqrt{5} i$$

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x + 1$$
entonces la ecuación será así:
$$\frac{1}{z^{2}} = - \frac{1}{5}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\frac{e^{- 2 i p}}{r^{2}} = - \frac{1}{5}$$
donde
$$r = \sqrt{5}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{- 2 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$- i \sin{\left(2 p \right)} + \cos{\left(2 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(2 p \right)} = 1$$
y
$$- \sin{\left(2 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = - \pi N$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \sqrt{5} i$$
$$z_{2} = \sqrt{5} i$$
hacemos cambio inverso
$$z = x + 1$$
$$x = z - 1$$

$$x_{1} = -1 + \sqrt{5} i$$
$$x_{2} = -1 - \sqrt{5} i$$
Descartamos las soluciones complejas:
Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo

x0 = 0

$$- \frac{15}{1^{2}} - 3 > 0$$

-18 > 0

signo desigualdades no tiene soluciones