(x*(3-x)(x+4)^4)/(x^2-5x+6)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{x \left(3 - x\right) \left(x + 4\right)^{4}}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x \left(3 - x\right) \left(x + 4\right)^{4}}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{x \left(3 - x\right) \left(x + 4\right)^{4}}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$- \frac{x \left(x + 4\right)^{4}}{x - 2} = 0$$
denominador
$$x - 2$$
entonces

x no es igual a 2

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$- x = 0$$
$$x + 4 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$- x = 0$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

x = 0 / (-1)

Obtenemos la respuesta: x1 = 0
3.
$$x + 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -4$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -4
pero

x no es igual a 2

$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -4$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 0$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{x \left(3 - x\right) \left(x + 4\right)^{4}}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} \geq 0$$
$$\frac{\left(- \frac{41}{10} + 4\right)^{4} \left(- \frac{41 \left(3 - - \frac{41}{10}\right)}{10}\right)}{6 + \left(\left(- \frac{41}{10}\right)^{2} - \frac{\left(-41\right) 5}{10}\right)} \geq 0$$

 -41       
------ >= 0
610000     

pero

 -41      
------ < 0
610000    

Entonces
$$x \leq -4$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -4 \wedge x \leq 0$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1