(-6*x^2-5*x-1)/(x-2)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(- 6 x^{2} - 5 x\right) - 1}{x - 2} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(- 6 x^{2} - 5 x\right) - 1}{x - 2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(- 6 x^{2} - 5 x\right) - 1}{x - 2} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
-2 + x
obtendremos:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(\left(- 6 x^{2} - 5 x\right) - 1\right)}{x - 2} = 0$$
$$- 6 x^{2} - 5 x - 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -6$$
$$b = -5$$
$$c = -1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (-6) * (-1) = 1

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(- 6 x^{2} - 5 x\right) - 1}{x - 2} < 0$$
$$\frac{-1 + \left(- 6 \left(- \frac{3}{5}\right)^{2} - \frac{\left(-3\right) 5}{5}\right)}{-2 - \frac{3}{5}} < 0$$

4/65 < 0

pero

4/65 > 0

Entonces
$$x < - \frac{1}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{1}{2} \wedge x < - \frac{1}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2