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(2x+7)(x-5)/4-x>0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
(2*x + 7)*(x - 5)        
----------------- - x > 0
        4                
$$- x + \frac{\left(x - 5\right) \left(2 x + 7\right)}{4} > 0$$
-x + ((x - 5)*(2*x + 7))/4 > 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$- x + \frac{\left(x - 5\right) \left(2 x + 7\right)}{4} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- x + \frac{\left(x - 5\right) \left(2 x + 7\right)}{4} = 0$$
Resolvemos:
Abramos la expresión en la ecuación
$$- x + \frac{\left(x - 5\right) \left(2 x + 7\right)}{4} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$\frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{4} - \frac{35}{4} = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = \frac{1}{2}$$
$$b = - \frac{7}{4}$$
$$c = - \frac{35}{4}$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7/4)^2 - 4 * (1/2) * (-35/4) = 329/16

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{329}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{329}}{4}$$
$$x_{1} = \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{329}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{329}}{4}$$
$$x_{1} = \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{329}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{329}}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{329}}{4}$$
$$x_{1} = \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{329}}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{7}{4} - \frac{\sqrt{329}}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{33}{20} - \frac{\sqrt{329}}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- x + \frac{\left(x - 5\right) \left(2 x + 7\right)}{4} > 0$$
$$\frac{\left(-5 + \left(\frac{33}{20} - \frac{\sqrt{329}}{4}\right)\right) \left(2 \left(\frac{33}{20} - \frac{\sqrt{329}}{4}\right) + 7\right)}{4} - \left(\frac{33}{20} - \frac{\sqrt{329}}{4}\right) > 0$$
                 /         _____\ /        _____\    
                 |  67   \/ 329 | |103   \/ 329 |    
         _____   |- -- - -------|*|--- - -------|    
  33   \/ 329    \  20      4   / \ 10      2   / > 0
- -- + ------- + --------------------------------    
  20      4                     4                    
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{329}}{4}$$
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{329}}{4}$$
$$x > \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{329}}{4}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida [src]
  /   /                   _____\     /              _____    \\
  |   |             7   \/ 329 |     |        7   \/ 329     ||
Or|And|-oo < x, x < - - -------|, And|x < oo, - + ------- < x||
  \   \             4      4   /     \        4      4       //
$$\left(-\infty < x \wedge x < \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{329}}{4}\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{329}}{4} < x\right)$$
((-oo < x)∧(x < 7/4 - sqrt(329)/4))∨((x < oo)∧(7/4 + sqrt(329)/4 < x))
Respuesta rápida 2 [src]
            _____           _____     
      7   \/ 329      7   \/ 329      
(-oo, - - -------) U (- + -------, oo)
      4      4        4      4        
$$x\ in\ \left(-\infty, \frac{7}{4} - \frac{\sqrt{329}}{4}\right) \cup \left(\frac{7}{4} + \frac{\sqrt{329}}{4}, \infty\right)$$
x in Union(Interval.open(-oo, 7/4 - sqrt(329)/4), Interval.open(7/4 + sqrt(329)/4, oo))