(x^2-2*x+1)/((x-1)*(x-3))>=-1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \geq -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = -1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = -1$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 3} = 0$$
denominador
$$x - 3$$
entonces

x no es igual a 3

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$2 x - 4 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$2 x - 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x = 4$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

x = 4 / (2)

Obtenemos la respuesta: x1 = 2
pero

x no es igual a 3

$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2$$
=
$$\frac{19}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} \geq -1$$
$$\frac{\left(- \frac{2 \cdot 19}{10} + \left(\frac{19}{10}\right)^{2}\right) + 1}{\left(-3 + \frac{19}{10}\right) \left(-1 + \frac{19}{10}\right)} \geq -1$$

-9/11 >= -1

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq 2$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1