2^(3x+1)−9⋅4^x+2^(x+2)≤0. desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2^{x + 2} + \left(2^{3 x + 1} - 9 \cdot 4^{x}\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2^{x + 2} + \left(2^{3 x + 1} - 9 \cdot 4^{x}\right) = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2^{x + 2} + \left(2^{3 x + 1} - 9 \cdot 4^{x}\right) \leq 0$$
$$\left(- \frac{9}{4^{\frac{11}{10}}} + 2^{\frac{\left(-11\right) 3}{10} + 1}\right) + 2^{- \frac{11}{10} + 2} \leq 0$$

           4/5    7/10     
 9/10   9*2      2         
2     - ------ + ----- <= 0
          8        8       
     

pero

           4/5    7/10     
 9/10   9*2      2         
2     - ------ + ----- >= 0
          8        8       
     

Entonces
$$x \leq -1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -1 \wedge x \leq 2$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2