√3sinx-cosx>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{3 \sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{3 \sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{13}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 - \sqrt{13}}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 + \sqrt{13}}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 + \sqrt{13}}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 + \sqrt{13}}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 + \sqrt{13}}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 + \sqrt{13}}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{3 \sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)} > 0$$
$$- \cos{\left(- \frac{1}{10} + 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 + \sqrt{13}}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)} \right)} + \sqrt{3 \sin{\left(- \frac{1}{10} + 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 + \sqrt{13}}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)} \right)}} > 0$$

                                                                     _______________________________________________________    
     /           /                      ____________\\              /     /           /                      ____________\\     
     |           |      ____     ___   /       ____ ||             /      |           |      ____     ___   /       ____ ||     
     |1          |3   \/ 13    \/ 6 *\/  3 + \/ 13  ||     ___    /       |1          |3   \/ 13    \/ 6 *\/  3 + \/ 13  ||  > 0
- cos|-- - 2*atan|- + ------ - ---------------------|| + \/ 3 *  /    -sin|-- - 2*atan|- + ------ - ---------------------||     
     \10         \2     2                2          //         \/         \10         \2     2                2          //     
    

Entonces
$$x < 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 + \sqrt{13}}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{3 + \sqrt{13}}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1