Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
6-3x<19-(x-7)
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-2x+5<=-3x-3
-
5x^2-8x+3>0
-
x^2+1>0
-
Expresiones idénticas
- 8cos^ dos (x)- uno > cero
- 8 coseno de al cuadrado (x) menos 1 más 0
- 8 coseno de en el grado dos (x) menos uno más cero
- 8cos2(x)-1>0
- 8cos2x-1>0
- 8cos²(x)-1>0
- 8cos en el grado 2(x)-1>0
- 8cos^2x-1>0
-
Expresiones semejantes
- 8cos^2(x)+1>0
8cos^2(x)-1>0 desigualdades
Solución
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
cambiamos
$$8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 8$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, entonces
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
o
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{4}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 > 0$$
$$8 \cos^{2}{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} \right)} - 1 > 0$$
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x > \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)} \wedge x < - \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi$$
$$x > - \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi$$
$$8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
cambiamos
$$8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma
a*w^2 + b*w + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 8$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (8) * (-1) = 32
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{4}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$8 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 > 0$$
$$8 \cos^{2}{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} \right)} - 1 > 0$$
/ / ___\\
2|1 |\/ 2 ||
-1 + 8*cos |-- - acos|-----|| > 0
\10 \ 4 //
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
_____ _____ _____
\ / \ /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
x4 x3 x1 x2Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x > \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)} \wedge x < - \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi$$
$$x > - \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} + 2 \pi$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida
[src]
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$$\left(0 \leq x \wedge x < - i \left(\log{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}} \right)} + i \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}} \right)}\right)\right) \vee \left(x \leq 2 \pi \wedge - i \left(\log{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}} \right)} + i \left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}} \right)} + 2 \pi\right)\right) < x\right) \vee \left(x < - i \left(\log{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}} \right)} + i \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}} \right)} + \pi\right)\right) \wedge - i \left(\log{\left(\sqrt{\sin^{2}{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}} \right)} + i \left(\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}}{2} \right)}} \right)}\right)\right) < x\right)$$
((0 <= x)∧(x < -i*(i*atan(cos(atan(sqrt(7)/3)/2)/sin(atan(sqrt(7)/3)/2)) + log(sqrt(cos(atan(sqrt(7)/3)/2)^2 + sin(atan(sqrt(7)/3)/2)^2)))))∨((x <= 2*pi)∧(-i*(i*(-atan(cos(atan(sqrt(7)/3)/2)/sin(atan(sqrt(7)/3)/2)) + 2*pi) + log(sqrt(cos(atan(sqrt(7)/3)/2)^2 + sin(atan(sqrt(7)/3)/2)^2))) < x))∨((x < -i*(i*(pi + atan(cos(atan(sqrt(7)/3)/2)/sin(atan(sqrt(7)/3)/2))) + log(sqrt(cos(atan(sqrt(7)/3)/2)^2 + sin(atan(sqrt(7)/3)/2)^2))))∧(-i*(i*(pi - atan(cos(atan(sqrt(7)/3)/2)/sin(atan(sqrt(7)/3)/2))) + log(sqrt(cos(atan(sqrt(7)/3)/2)^2 + sin(atan(sqrt(7)/3)/2)^2))) < x))