((x^2-7x+12)*(x-3))/(x^2-7x+10)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(\left(x^{2} - 7 x\right) + 12\right)}{\left(x^{2} - 7 x\right) + 10} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(\left(x^{2} - 7 x\right) + 12\right)}{\left(x^{2} - 7 x\right) + 10} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(\left(x^{2} - 7 x\right) + 12\right)}{\left(x^{2} - 7 x\right) + 10} = 0$$
denominador
$$x^{2} - 7 x + 10$$
entonces

x no es igual a 2

x no es igual a 5

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 3 = 0$$
$$x^{2} - 7 x + 12 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 3$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 3
2.
$$x^{2} - 7 x + 12 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -7$$
$$c = 12$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7)^2 - 4 * (1) * (12) = 1

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 3$$
pero

x no es igual a 2

x no es igual a 5

$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$\frac{29}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(\left(x^{2} - 7 x\right) + 12\right)}{\left(x^{2} - 7 x\right) + 10} \leq 0$$
$$\frac{\left(-3 + \frac{29}{10}\right) \left(\left(- \frac{7 \cdot 29}{10} + \left(\frac{29}{10}\right)^{2}\right) + 12\right)}{\left(- \frac{7 \cdot 29}{10} + \left(\frac{29}{10}\right)^{2}\right) + 10} \leq 0$$

 11      
---- <= 0
1890     

pero

 11      
---- >= 0
1890     

Entonces
$$x \leq 3$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 3 \wedge x \leq 4$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq 3 \wedge x \leq 4$$