x*(0,5-x)*(x+4)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x \left(\frac{1}{2} - x\right) \left(x + 4\right) < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x \left(\frac{1}{2} - x\right) \left(x + 4\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$x \left(\frac{1}{2} - x\right) \left(x + 4\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x = 0$$
$$x + 4 = 0$$
$$\frac{1}{2} - x = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x = 0$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 0
2.
$$x + 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -4$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -4
3.
$$\frac{1}{2} - x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- x = - \frac{1}{2}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

x = -1/2 / (-1)

Obtenemos la respuesta: x3 = 1/2
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{3} = \frac{1}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x \left(\frac{1}{2} - x\right) \left(x + 4\right) < 0$$
$$\left(- \frac{41}{10} + 4\right) \frac{\left(-41\right) \left(\frac{1}{2} - - \frac{41}{10}\right)}{10} < 0$$

943    
--- < 0
500    

pero

943    
--- > 0
500    

Entonces
$$x < -4$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -4 \wedge x < 0$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------
       x2      x1      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > -4 \wedge x < 0$$
$$x > \frac{1}{2}$$