(x+3)(x-5)/x+1>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$1 + \frac{\left(x - 5\right) \left(x + 3\right)}{x} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$1 + \frac{\left(x - 5\right) \left(x + 3\right)}{x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$1 + \frac{\left(x - 5\right) \left(x + 3\right)}{x} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x^{2} - x - 15}{x} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} - x - 15 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$x^{2} - x - 15 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -15$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-15) = 61

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{61}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{61}}{2}$$
pero

x no es igual a 0

$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{61}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{61}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{61}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{61}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{61}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{61}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{61}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{61}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$1 + \frac{\left(x - 5\right) \left(x + 3\right)}{x} \geq 0$$
$$\frac{\left(-5 + \left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{61}}{2}\right)\right) \left(\left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{61}}{2}\right) + 3\right)}{\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{61}}{2}} + 1 \geq 0$$

    /         ____\ /       ____\     
    |  23   \/ 61 | |17   \/ 61 |     
    |- -- - ------|*|-- - ------|     
    \  5      2   / \5      2   /     
1 + ----------------------------- >= 0
                    ____              
              2   \/ 61               
              - - ------              
              5     2                 

pero

    /         ____\ /       ____\    
    |  23   \/ 61 | |17   \/ 61 |    
    |- -- - ------|*|-- - ------|    
    \  5      2   / \5      2   /    
1 + ----------------------------- < 0
                    ____             
              2   \/ 61              
              - - ------             
              5     2                

Entonces
$$x \leq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{61}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{61}}{2} \wedge x \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{61}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1