(3x-6)/(x+6)*(7-x)/x+6<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$6 + \frac{\frac{3 x - 6}{x + 6} \left(7 - x\right)}{x} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$6 + \frac{\frac{3 x - 6}{x + 6} \left(7 - x\right)}{x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$6 + \frac{\frac{3 x - 6}{x + 6} \left(7 - x\right)}{x} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{3 \left(x^{2} + 21 x - 14\right)}{x \left(x + 6\right)} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

denominador
$$x + 6$$
entonces

x no es igual a -6

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$3 x^{2} + 63 x - 42 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$3 x^{2} + 63 x - 42 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 3$$
$$b = 63$$
$$c = -42$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(63)^2 - 4 * (3) * (-42) = 4473

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{497}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{497}}{2} - \frac{21}{2}$$
pero

x no es igual a 0

x no es igual a -6

$$x_{1} = - \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{497}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{497}}{2} - \frac{21}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{497}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{497}}{2} - \frac{21}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{497}}{2} - \frac{21}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{497}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{497}}{2} - \frac{21}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{497}}{2} - \frac{53}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$6 + \frac{\frac{3 x - 6}{x + 6} \left(7 - x\right)}{x} < 0$$
$$\frac{\frac{3 \left(- \frac{\sqrt{497}}{2} - \frac{53}{5}\right) - 6}{\left(- \frac{\sqrt{497}}{2} - \frac{53}{5}\right) + 6} \left(7 - \left(- \frac{\sqrt{497}}{2} - \frac{53}{5}\right)\right)}{- \frac{\sqrt{497}}{2} - \frac{53}{5}} + 6 < 0$$

    /            _____\ /       _____\    
    |  189   3*\/ 497 | |88   \/ 497 |    
    |- --- - ---------|*|-- + -------|    
    \   5        2    / \5       2   /    
6 + ---------------------------------- < 0
    /         _____\ /         _____\     
    |  53   \/ 497 | |  23   \/ 497 |     
    |- -- - -------|*|- -- - -------|     
    \  5       2   / \  5       2   /     

pero

    /            _____\ /       _____\    
    |  189   3*\/ 497 | |88   \/ 497 |    
    |- --- - ---------|*|-- + -------|    
    \   5        2    / \5       2   /    
6 + ---------------------------------- > 0
    /         _____\ /         _____\     
    |  53   \/ 497 | |  23   \/ 497 |     
    |- -- - -------|*|- -- - -------|     
    \  5       2   / \  5       2   /     

Entonces
$$x < - \frac{\sqrt{497}}{2} - \frac{21}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{\sqrt{497}}{2} - \frac{21}{2} \wedge x < - \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{497}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1