Se da la desigualdad:
$$\frac{\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \log{\left(\frac{\left(4 x + 11\right)^{7}}{\left(x + 2\right)^{2}} \right)}}{\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \log{\left(\left(4 x + 11\right)^{6} \right)}} \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \log{\left(\frac{\left(4 x + 11\right)^{7}}{\left(x + 2\right)^{2}} \right)}}{\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \log{\left(\left(4 x + 11\right)^{6} \right)}} = 1$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \sqrt{7}$$
$$x_{2} = \sqrt{7}$$
$$x_{1} = - \sqrt{7}$$
$$x_{2} = \sqrt{7}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \sqrt{7}$$
$$x_{2} = \sqrt{7}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \sqrt{7} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \sqrt{7} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \log{\left(\frac{\left(4 x + 11\right)^{7}}{\left(x + 2\right)^{2}} \right)}}{\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \log{\left(\left(4 x + 11\right)^{6} \right)}} \leq 1$$
$$\frac{\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \log{\left(\frac{\left(4 \left(- \sqrt{7} - \frac{1}{10}\right) + 11\right)^{7}}{\left(\left(- \sqrt{7} - \frac{1}{10}\right) + 2\right)^{2}} \right)}}{\frac{1}{\log{\left(2 \right)}} \log{\left(\left(4 \left(- \sqrt{7} - \frac{1}{10}\right) + 11\right)^{6} \right)}} \leq 1$$
/ 7\
|/53 ___\ |
||-- - 4*\/ 7 | |
|\5 / |
log|---------------|
| 2 |
| /19 ___\ |
| |-- - \/ 7 | | <= 1
\ \10 / /
--------------------
/ 6\
|/53 ___\ |
log||-- - 4*\/ 7 | |
\\5 / /
pero
/ 7\
|/53 ___\ |
||-- - 4*\/ 7 | |
|\5 / |
log|---------------|
| 2 |
| /19 ___\ |
| |-- - \/ 7 | | >= 1
\ \10 / /
--------------------
/ 6\
|/53 ___\ |
log||-- - 4*\/ 7 | |
\\5 / /
Entonces
$$x \leq - \sqrt{7}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \sqrt{7} \wedge x \leq \sqrt{7}$$
_____
/ \
-------•-------•-------
x1 x2