(x-3)(x+5)/4-2x<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- 2 x + \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 5\right)}{4} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- 2 x + \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 5\right)}{4} = 0$$
Resolvemos:
Abramos la expresión en la ecuación
$$- 2 x + \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 5\right)}{4} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} - \frac{15}{4} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = \frac{1}{4}$$
$$b = - \frac{3}{2}$$
$$c = - \frac{15}{4}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3/2)^2 - 4 * (1/4) * (-15/4) = 6

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 3 + 2 \sqrt{6}$$
$$x_{2} = 3 - 2 \sqrt{6}$$
$$x_{1} = 3 + 2 \sqrt{6}$$
$$x_{2} = 3 - 2 \sqrt{6}$$
$$x_{1} = 3 + 2 \sqrt{6}$$
$$x_{2} = 3 - 2 \sqrt{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 3 - 2 \sqrt{6}$$
$$x_{1} = 3 + 2 \sqrt{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(3 - 2 \sqrt{6}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{29}{10} - 2 \sqrt{6}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- 2 x + \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 5\right)}{4} \leq 0$$
$$\frac{\left(-3 + \left(\frac{29}{10} - 2 \sqrt{6}\right)\right) \left(\left(\frac{29}{10} - 2 \sqrt{6}\right) + 5\right)}{4} - 2 \left(\frac{29}{10} - 2 \sqrt{6}\right) \leq 0$$

                 /  1        ___\ /79       ___\     
                 |- -- - 2*\/ 6 |*|-- - 2*\/ 6 |     
  29       ___   \  10          / \10          / <= 0
- -- + 4*\/ 6  + -------------------------------     
  5                             4                    

pero

                 /  1        ___\ /79       ___\     
                 |- -- - 2*\/ 6 |*|-- - 2*\/ 6 |     
  29       ___   \  10          / \10          / >= 0
- -- + 4*\/ 6  + -------------------------------     
  5                             4                    

Entonces
$$x \leq 3 - 2 \sqrt{6}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 3 - 2 \sqrt{6} \wedge x \leq 3 + 2 \sqrt{6}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1