|x-3|<=1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 3}\right| \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 3}\right| = 1$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 3 \geq 0$$
o
$$3 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 3\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 4$$

2.
$$x - 3 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 3$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - x\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 - x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = 2$$


$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2$$
=
$$\frac{19}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 3}\right| \leq 1$$
$$\left|{-3 + \frac{19}{10}}\right| \leq 1$$

11     
-- <= 1
10     

pero

11     
-- >= 1
10     

Entonces
$$x \leq 2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 2 \wedge x \leq 4$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1