(x-4)*(8-x)*(2x-5)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(8 - x\right) \left(x - 4\right) \left(2 x - 5\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(8 - x\right) \left(x - 4\right) \left(2 x - 5\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(8 - x\right) \left(x - 4\right) \left(2 x - 5\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 4 = 0$$
$$8 - x = 0$$
$$2 x - 5 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 4$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 4
2.
$$8 - x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- x = -8$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

x = -8 / (-1)

Obtenemos la respuesta: x2 = 8
3.
$$2 x - 5 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x = 5$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

x = 5 / (2)

Obtenemos la respuesta: x3 = 5/2
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 8$$
$$x_{3} = \frac{5}{2}$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 8$$
$$x_{3} = \frac{5}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = \frac{5}{2}$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 8$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{5}{2}$$
=
$$\frac{12}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(8 - x\right) \left(x - 4\right) \left(2 x - 5\right) \leq 0$$
$$\left(-4 + \frac{12}{5}\right) \left(8 - \frac{12}{5}\right) \left(-5 + \frac{2 \cdot 12}{5}\right) \leq 0$$

224     
--- <= 0
125     

pero

224     
--- >= 0
125     

Entonces
$$x \leq \frac{5}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{5}{2} \wedge x \leq 4$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x3      x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq \frac{5}{2} \wedge x \leq 4$$
$$x \geq 8$$