(-2x-1)(3x+1)(x-5)<_0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- 2 x - 1\right) \left(3 x + 1\right) \left(x - 5\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- 2 x - 1\right) \left(3 x + 1\right) \left(x - 5\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(- 2 x - 1\right) \left(3 x + 1\right) \left(x - 5\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 5 = 0$$
$$- 2 x - 1 = 0$$
$$3 x + 1 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 5 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 5$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 5
2.
$$- 2 x - 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- 2 x = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -2

x = 1 / (-2)

Obtenemos la respuesta: x2 = -1/2
3.
$$3 x + 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$3 x = -1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 3

x = -1 / (3)

Obtenemos la respuesta: x3 = -1/3
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 5$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- 2 x - 1\right) \left(3 x + 1\right) \left(x - 5\right) \leq 0$$
$$\left(-1 - \frac{\left(-3\right) 2}{5}\right) \left(\frac{\left(-3\right) 3}{5} + 1\right) \left(-5 + - \frac{3}{5}\right) \leq 0$$

112     
--- <= 0
125     

pero

112     
--- >= 0
125     

Entonces
$$x \leq - \frac{1}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{1}{2} \wedge x \leq - \frac{1}{3}$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x2      x3      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq - \frac{1}{2} \wedge x \leq - \frac{1}{3}$$
$$x \geq 5$$